¿Cuál es la longitud $f(n)$ de la palabra de grupo no trivial más corta $w_n$ en $x_1,\ldots,x_n$ que se derrumba a $1$ cuando sustituimos $x_i=1$ para cualquier $i$ ?
Por ejemplo, $f(2)=4$ con el conmutador $[x_1,x_2]=x_1 x_2 x_1^{-1} x_2^{-1}$ alcanzar el límite.
Para cualquier $m,n \ge 1$ la construcción $w_{m+n}(\vec{x},\vec{y}):=[w_m(\vec{x}),w_n(\vec{y})]$ muestra que $f(m+n) \le 2 f(m) + 2 f(n)$ .
Es $f(1),f(2),\ldots$ lo mismo que la secuencia A073121 : $$ 1,4,10,16,28,40,52,64,88,112,136,\ldots ?$$
Motivación: Superar la construcción del conmutador iterado mejoraría los mejores límites conocidos en tamaño del grupo más pequeño que no satisface una identidad .
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Erik Demaine, en su artículo "Puzzles, Art, and Magic with Algorithms" (Rompecabezas, arte y magia con algoritmos) menciona un preprint "Picture-hanging puzzles" (Rompecabezas de imágenes colgantes) que podría tener una solución mejor (?). Una búsqueda en Google no encuentra el preprint. Aquí hay otro enlace, dando su solución: mathpuzzle.com/hangingpicture.htm
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Una pregunta. ¿Se puede demostrar que tal palabra w_n debe estar en la enésima etapa de la serie central inferior del grupo libre? Diez minutos de reflexión no dieron ni una prueba ni un contraejemplo.
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Andy: La proposición 2 de "Towards a characterization of smooth braids" de Johnson da una respuesta positiva a tu pregunta. Todavía no he entendido su demostración.