Demuestra que $Y_t = (W_t + t)\exp\{-W_t - \frac{1}{2}t\}$ es una martingala.

Question

Dejemos que $W$ sea un movimiento browniano estándar (unidimensional) y defina el proceso $Y = \left\{ Y_t, \mathcal{F}_t; 0 \le t < \infty \right\}$ por $$ Y_t = (W_t + t)\exp\left\{-W_t - \frac{1}{2}t \right\}. $$ Estoy tratando de mostrar que $Y$ es un $\left\{ \mathcal{F}_t \right\}$ -martingale usando la Fórmula de Ito.

Este es mi enfoque:

Para cada $t \ge 0$ , poned $G_t := W_t + t$ , $M_t := -W_t - \frac{1}{2}t$ y $H_t := \exp\{M_t\}$ . Entonces $Y_t = G_t H_t$ y $M$ es un proceso Ito con $(u_t, v_t) = (-1/2, -1)$ . Ahora, dejemos que $f(t,w) = f(w) = e^w$ . Entonces $f(M_t) = f'(M_t) = f''(M_t) = H_t$ y así, por la Fórmula de Ito, $$ d H_t = \left[0 - \frac{1}{2}f'(M_t) d M_t + \frac{1}{2}f''(M_t)\right]dt - f'(M_t) dW_t = 0 - f'(M_t) dW_t = - H_t dW_t. $$ Esto significa que $$ H_t = 1 - \int_0^t H_s \, dW_s, \qquad t \ge 0;$$ y así, el proceso $H := \left\{H_t, \mathcal{F}_t; 0 \le t < \infty \right\}$ es una martingala.

De la misma manera, $G$ es un proceso Ito con $(u_t, v_t) = (1,1)$ ; es decir, $$ d G_t = d t + d W_t. $$ Ahora, utilizando la fórmula de integración por partes, \begin{align*} d Y_t &= G_t \, dH_t + H_t \, dG_t + dG_t \, dH_t \\ &= -G_t H_t d W_t + H_t\left(d t + d W_t \right) - \left(d t + d W_t \right)\left(H_t d W_t \right) \\ &= 0 + (H_t - G_t H_t)d W_t \\ &= (1 - t - W_t)H_t d W_t. \end{align*} Así, \begin{align*} Y_t &= \int_{0}^t (1 - s - W_s)H_s d W_s. \end{align*} Por lo tanto, si ponemos $Q_t := (1 - t - W_t)H_t$ para cada $t \ge 0$ entonces está claro que el proceso $Q := \left\{Q_t, \mathcal{F}_t ; 0 \le t < \infty \right\}$ es medible y $\left\{\mathcal{F}_t \right\}$ -adaptado. Ahora, sólo tenemos que demostrar que \begin{align*} \mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^T Q_s^2 \, ds\right)^{1/2} \right] &= \mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^T (1 - s - W_s)^2H_s^2 d s \right)^{1/2}\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T (s^2H_s^2 + 2sW_sH_s^2 - 2sH_s^2 + W_s^2H_s^2 - 2W_sH_s^2 + H_s^2) ds \right)^{1/2}\right] \end{align*} es finito para todo $T > 0$ . Naturalmente, aquí es donde estoy atascado. Dada la fealdad de este integrando, sólo puedo imaginar que he hecho algo mal aquí (o que estoy pasando por alto algún enfoque "más hábil")...

Answer 1

En realidad necesitas mostrar algo más fuerte, que $$\mathbb{E}[\int_0^T Q_s^2ds]< +\infty.$$ Esto es mucho más fácil (y en realidad implica lo que querías mostrar, debido a Holder). Puedes hacerlo intercambiando las integrales y utilizando el hecho de que conoces la ley de $W_s$ para cualquier $s$ .

Answer 2

Es una consecuencia del teorema de Girsanov según lo dicho anteriormente. Si se define una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ tal que : $$\mathbb{dQ}_{| F_t} = e^{-W_t - \frac{1}{2}t}\mathbb{dP}_{| F_t}$$

Entonces se deduce del teorema de Girsanov que el proceso $(B_t)_{t>0}$ definido como : $$B_t = W_t +t$$

es un movimiento browniano (por tanto una martingala) bajo $\mathbb{Q}$ . Se puede comprobar que esto también implica que $e^{-W_t - \frac{1}{2}t}(W_t+t)$ es una martingala bajo $\mathbb{P}$ utilizando la fórmula de la expectativa condicional de Bayes como sigue : $$\mathbb{E}[e^{-W_t - \frac{1}{2}t}(W_t+t)|F_s] = e^{-W_s - \frac{1}{2}s}\mathbb{E_{Q}}[W_t+t|F_s] = e^{-W_s - \frac{1}{2}s}(W_s+s)$$