El espacio normado donde convergen todas las series absolutamente convergentes es Banach

Question

Dejemos que $A$ sea un espacio normado donde toda serie absolutamente convergente converge en $A$ .

¿Cómo puedo demostrar que $A$ ¿es Banach?

Dejemos que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ sea una serie absolutamente convergente en $A$ entonces sabemos que $\sum_{n=1}^\infty ||x_n||$ es convergente en $\mathbb{R}$ y que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ es convergente en $A$ .
Ahora usando esto, queremos demostrar que todas las secuencias de Cauchy $\{x_n\}$ sur $A$ convergen. ¿Cómo lo haría?

Answer 1

Dejemos que $(x_n)_{n\geq 1}$ sea Cauchy en $A$ . Podemos extraer una subsecuencia $x_{n_k}$ para lo cual $\|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\|\leq 2^{-k}$ para $k\geq 1$ . Entonces $$ \sum_{k\geq 1} \|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\| \leq \sum_{k\geq 1} 2^{-k} =1$$ implica por la hipótesis sobre $A$ que el límite $$y= x_{n_1} + \lim_{p\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^p (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})\in A$$ existe (ya que la suma es abs convergente). Tenemos $\|y-x_{n_k}\|\leq 2^{1-k}$ así que $x_{n_k}$ converge a $y$ sur $A$ y también lo hace $x_n$ .