Intuición para las transformadas integrales

Question

Es bien sabido que las operaciones de diferenciación e integración se reducen a la multiplicación y la división después de ser transformadas por una transformada integral (como, por ejemplo, las transformadas de Fourier o de Laplace).

Mi pregunta: ¿Se intuye por qué esto es así? Se puede demostrar, vale - pero puede alguien explicar el panorama general (por favor, no demasiado técnico - puede que necesite otra intuición para entenderlo también ;-)

Answer 1

Después de haber leído todas las respuestas (y de no haber entendido del todo la mayoría de ellas) finalmente he llegado a la siguiente conclusión:

Las mencionadas transformaciones integrales implican la función exponencial, por ejemplo $e^{nx}$

Diferenciar esto significa $n e^{n x}$ - que es simplemente la multiplicación por $n$

Integrar esto significa $\frac{1}{n} e^{nx}$ - que es simplemente la división por $n$

Esto es válido para las series de potencias, que son la forma discreta de las transformadas integrales (más o menos) y se derivan originalmente de la regla de la potencia (para la diferenciación), aunque se produciría una molesta división por la base utilizando términos de potencia "ordinarios". Esto se evita utilizando la función exponencial.

Por lo tanto, si esto tiene algún sentido, por favor vote - de lo contrario, por favor comente..

Gracias a todos por su ayuda.