Es bien sabido que las operaciones de diferenciación e integración se reducen a la multiplicación y la división después de ser transformadas por una transformada integral (como, por ejemplo, las transformadas de Fourier o de Laplace).
Mi pregunta: ¿Se intuye por qué esto es así? Se puede demostrar, vale - pero puede alguien explicar el panorama general (por favor, no demasiado técnico - puede que necesite otra intuición para entenderlo también ;-)
Las transformadas de Fourier y Laplace se definen probando la función f dada por funciones especiales (caracteres en el caso de Fourier, exponenciales en el caso de Laplace).
Estas funciones especiales resultan ser eigenfunciones de traducción: si se traduce un carácter o un exponencial, se obtiene un múltiplo escalar de dicho carácter o exponencial.
En consecuencia, las transformadas de Fourier o de Laplace diagonalizar la operación de traducción (formalmente, al menos).
Cuando dos operaciones lineales conmutan, son simultáneamente diagonalizables (en principio, al menos). Por tanto, es de esperar que las transformadas de Fourier o de Laplace también diagonalicen otras operaciones lineales invariables por traslación.
La diferenciación y la integración son operaciones lineales e invariables por traslación. Por eso se diagonalizan mediante las transformadas de Fourier y Laplace.
La diagonalización es una herramienta extremadamente útil; reduce el mundo no abeliano de los operadores y las matrices al mundo abeliano de los escalares.
Puede ser útil pensar en un modelo discreto: considere funciones de valor complejo sobre $Z/n$ . La transformada discreta de Fourier toma $f(k)$ a $g(j) :=\sum_{k=1}^n f(k) \zeta^{jk}$ donde $\zeta=e^{2 \pi i/n}$ . Es bastante fácil ver que, si cambiamos $f(k)$ a $f(k+1)$ cambiamos $g(j)$ a $g(j)*\zeta^j$ .
Del mismo modo, el cambio de $f(k)$ a $f(k+1)-f(k)$ cambia $g(j)$ a $g(j)*(\zeta^j-1)$ . Así, en este modelo discreto, tomar una diferencia se convierte en multiplicar por $(\zeta^j-1)$ . De forma similar, en el entorno continuo, tomar una derivada se convierte en una multiplicación por $x$ .
Puedes pensar en las transformaciones integrales como un cambio de coordenadas. Uno de los trucos clave en física es elegir un sistema de coordenadas que simplifique el problema. Por ejemplo, puedes establecer tus coordenadas de manera que la acción que te interesa ocurra a lo largo de un eje.
Se puede pensar en una transformada de Fourier como una rotación en un espacio de funciones. La diferenciación es especialmente sencilla en el sistema de coordenadas rotado, al igual que las fuerzas son más sencillas cuando el sistema de coordenadas se alinea con la fuerza.
La transformada de Fourier es en realidad una especie de rotación (una "transformación ortogonal"). Si se aplica la transformada de Fourier cuatro veces, se recupera la función original, al igual que se recupera el seno cuando se diferencia cuatro veces.
Simplemente porque la función exponencial $\exp(xy)$ en función de $x$ es una función propia del operador de la derivada y también del operador de integración por lo que tenemos: $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \exp(xy)=y \exp(xy)$$ Si pensamos en la integración como la inversa de la operación de derivación tenemos: $$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{-1} \exp(xy)=\frac{1}{y} \exp(xy)$$ La situación es probable ya que estamos trabajando de forma "continua" $\exp(xy)$ indexado por el parámetro continuo $y$ la derivación y la integración son las matrices diagonales $diag(y)$ y $diag(1/y)$ respectivamente. Por lo tanto, debido a que la familia $\exp(xy)$ con $y=-i\omega$ en el caso de la transformada de Fourier, es una "base" para las funciones, las operaciones de diferenciación e integración se reducen a la multiplicación y división para las funciones que admiten tales descomposiciones.
Una forma de unificar muchas de las transformaciones es a través de los ojos de la teoría cuántica. Por ejemplo, la transformada de Fourier es un cambio de base del espacio cuántico de Hilbert entre las representaciones de coordenadas y de momento. La unitariedad de la transformada es una expresión del hecho de que preservan las probabilidades cuánticas y no hay diferencia en la física del problema si se utiliza una u otra representación.
La teoría de la cuantización geométrica es en realidad la forma rigurosa de expresar este punto de vista unificado. Hay muchas transformaciones, por ejemplo la de Fourier-Wiener y la de Berezin, que comparten esta propiedad (conservación de la probabilidad cuántica).
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