¿Es la siguiente función integrable de Lebesgue?

Question

Dada es la función $$f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{\sqrt{x}}, & x\in \mathbb{I}\cap [0,1]\\ x^3, &x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\end{array}\right.$$

Tengo que ver si $f$ es L-integrable en $[0,1]$ . Por definición $f$ tiene que ser una función acotada medible definida en un conjunto $E$ de medida finita para ser L-integrable en $E$ . Tengo problemas con la parte de los límites, porque si $x=\varepsilon >0$ es un número irracional muy pequeño, no sería $f(x)\rightarrow \infty$ y por lo tanto no implicaría que $f$ no está acotado.

Answer 1

Voy a escribir una respuesta en términos de Baby Rudin ch. 11, pero se advierte que hay otras maneras de construir la integral de Lebesgue. Su definición de integrable de Lebesgue, que requiere que $f$ estar acotado, es anómalo. $f$ obviamente no está acotado, como usted señala.

$\mathbb{Q}\cap [0,1]$ tiene medida cero porque es contable (Rudin 11.11(f)), y lo mismo ocurre con cualquiera de sus subconjuntos por la misma razón. La función $f$ es igual a $1/\sqrt{x}$ excepto en este conjunto de medida cero (suponiendo que $\mathbb{I}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ ). Para cualquier real $a$ el conjunto $\{x:f(x)>a\}$ es igual al conjunto de $x$ para lo cual $1/\sqrt{x}>a$ , quizás más o menos un conjunto contable de medida cero. El conjunto de $x$ para lo cual $1/\sqrt{x}>a$ es medible, de hecho está abierto. La unión y la diferencia de conjuntos medibles son medibles porque los conjuntos medibles forman una $\sigma$ -anillo aka $\sigma$ -(Rudin 11.10). Por lo tanto, $\{x:f(x)>a\}$ es medible para todos los $a$ y $f$ es medible (Rudin 11.13).

La definición convencional de "integrable de Lebesgue" para una función no negativa como $f$ sólo requiere que sea medible y que su integral sea finita (Rudin 11.21-11.22). En cuanto a la finitud de la integral, $\int_0^1 f(x)\,dx$ es igual a $\int_0^1 dx/\sqrt{x}$ porque podemos ignorar el conjunto de medida cero $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ (Rudin 11.25). Esta última integral se calcula fácilmente porque $d\sqrt{x}/dx=1/(2\sqrt{x})$ y es finito.

Answer 2

$f=f_1 1_{\mathbb{I}\cap [0,1]}+f_2 1_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ , donde $f_1(x)=x^{-1/2}$ y $f_2(x)=x^3$ . Concluir integrando ambas partes.

Answer 3

Se puede escribir $$f=x\mapsto x^3\mathbb{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}(x)+\frac{1}{\sqrt{x}}\mathbb{1}_{\mathbb{I}\cap[0,1]}(x)$$ donde supongo que $\mathbb{I}$ es el conjunto de los números irracionales. Ahora $[0,1]$ , $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{I}$ son conjuntos medibles, con $\mathbb{Q}$ siendo insignificante. Se puede concluir que $f$ es medible.

En cuanto a la integral, si $\lambda$ es la medida de Lebesgue, entonces se tiene \begin{align}\int_{[0,1]} f\mathrm{d}\lambda & = \int_{[0,1]\cap\mathbb{Q}} f\mathrm{d}\lambda+\int_{[0,1]\cap\mathbb{I}} f\mathrm{d}\lambda \\ & = \int_{[0,1]\cap\mathbb{I}} f\mathrm{d}\lambda \\ & = \int_{[0,1]} f\mathbb{1}_{\mathbb{I}}\mathrm{d}\lambda \\ & = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}. \end{align}