El Jordan-Chevalley expresa un operador lineal $M$ como $$ M = D + N, $$ donde $D$ es semisimple (diagonalizable), $N$ es nilpotente y $DN=ND$ . Aunque en muchas fuentes se afirma que $D$ y $N$ pueden escribirse como polinomios en $M$ Nunca he visto ninguna método para obtener dichos polinomios. Quiero enfatizar que no estoy interesado en una prueba sobre la existencia de estos polinomios, sino en un procedimiento para obtenerlos explícitamente dado la descomposición Jordan-Chevalley.
Respuesta
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Escribe $\chi_M(X)=\prod_{k=1}^s{(X-\lambda_k)^{\alpha_k}}$ (polinomio característico).
De entre otros Cayley-Hamilton, sabemos que $\bigoplus_{k=1}^s{\ker((M-\lambda_kI)^{\alpha_k})}=\mathbb{C}^n$ (por ejemplo).
Dejemos, para cada $k$ , $A_k$ , $B_k$ sean polinomios tales que $A_k(X)(X-\lambda_k)^{\alpha_k}+B_k(X)\prod_{l \neq k}{(X-\lambda_l)^{\alpha_l}}=1$ .
Dejemos que $P_k(X)=B_k(X)\prod_{l \neq k}{(X-\lambda_l)^{\alpha_l}}$ .
Entonces, si $(M-\lambda_kI)^{\alpha_k}v=0$ entonces $P_k(M)v=v$ . Por otro lado, si $l \neq k$ y $(M-\lambda_lI)^{\alpha_l}v=0$ entonces $P_k(M)v=0$ .
Entonces $D=\sum_k{\lambda_kP_k(M)}$ .
