Simetrías noeterianas y hamiltonianas

Question

Hay 2 ideas de simetría que he visto en la Mecánica Clásica:

1. Simetría noetheriana: Aquí se discuten las transformaciones de puntos infinitesimales donde sólo se perturban las coordenadas de posición (y sus derivadas). Definen la simetría como aquellas transformaciones infinitesimales en las que el lagrangiano no se modifica. El teorema de Noether relaciona entonces estas transformaciones simétricas con una cantidad conservada $Q = \sum_i p_i f_i(q)$

2. Simetría hamiltoniana: Aquí se discute la idea transformaciones canónicas infinitesimales (TIC), que en realidad están en el espacio de fase (q,p). Se demuestra entonces que las TIC generadas por $G$ es una simetría del hamiltoniano si $G$ se conserva en el tiempo a medida que el sistema evoluciona por $H$ .

Quería saber si estos 2 son equivalentes en algún sentido o no. Hay algunas diferencias obvias como que el primero está en $q$ espacio y segundo en $(q,p)$ espacio y las TIC permitirán $G$ (y, por tanto, las transformaciones) dependan del tiempo. Pero vemos que en ambos casos una simetría de traslación conduce a un momento lineal conservado y una simetría de rotación conduce a un momento angular conservado.

Mi pregunta es si existe algún resultado formal que combine las dos ideas de simetría.

Concretamente, ¿es una de estas simetrías un subconjunto de la otra?

Answer 1

El truco consiste en considerar la versión hamiltoniana del teorema de Noether, véase por ejemplo este Phys.SE. Entonces las simetrías de Noether corresponden a Campos vectoriales hamiltonianos (HVF), o infinitesimal simplectomorfismos que a su vez corresponden a infinitesimales transformaciones canónicas (TIC).