Esto no es exactamente una respuesta, pero como esto es la wiki de la comunidad espero que esté en el espíritu de las cosas si añado un giro a la pregunta.
Una de las cosas excelentes del excelente teoría de las especies es que tiene en su corazón una noción de prueba biyectiva natural. Permítanme esbozar la idea básica. A especie es simplemente un functor de la categoría $$ \mathcal{B} = (\mbox{finite sets } + \mbox{ bijections}) $$ a la categoría de conjuntos. Se piensa en una especie como una forma de decorar un conjunto finito con alguna estructura combinatoria adicional. Por ejemplo, hay una especie $L$ definido por $$ L(X) = \{ \mbox{linear orders on } X\} $$ para conjuntos finitos $X$ (y definida de forma obvia sobre los morfismos). Así, $L(X)$ es el conjunto de formas de "decorar" $X$ con un orden lineal. O bien, hay otra especie $P$ definido por $$ P(X) = \{ \mbox{permutations on }X\} $$ para conjuntos finitos $X$ (y definida de forma obvia en los morfismos).
Se puede pensar en las especies como funciones generadoras categorizadas. Más exactamente, para cualquier especie $S$ que es finito (toma valores en finito conjuntos), se puede formar su función generadora exponencial $\sum_n s_n x^n/n!$ , donde $s_n$ es la cardinalidad de $S(X)$ para cualquier $n$ -conjunto de elementos $X$ . Al pasar de una especie a su función generadora (descategorización), se pierde algo de información. Daré un ejemplo no trivial de esto en un momento.
Hay una noción obvia de isomorfismo de especies, a saber, el isomorfismo natural de funtores. ¿Son las especies $L$ y $P$ ¿se trata de un isomorfo? Tenemos $L(X) \cong P(X)$ para todos $X$ ya que un $n$ -El conjunto de elementos admite ambos $n!$ órdenes lineales y $n!$ permutaciones. Pero se puede demostrar que no hay natural isomorfismo $L \cong P$ . Así que no , $L$ y $P$ no son isomorfas. La intuición es la siguiente: para emparejar permutaciones y órdenes, habría que elegir un orden que correspondiera a la permutación identidad; pero un conjunto finito abstracto no lleva ningún orden lineal canónico, por lo que habría que hacer una elección aleatoria. Por lo tanto, no hay canónico correspondencia entre ellos.
En particular, esto implica que las especies con la misma función generadora ( $\sum_n n! x^n/n! = 1/(1-x)$ , aquí) no tienen por qué ser isomorfas. Así que sí, pasar a la función generadora puede perder información.
Moraleja: Una noción de "prueba biyectiva" es la "existencia de un isomorfismo de especies". Es una noción bastante exigente, como muestra el ejemplo de la permutación/orden. Se podría considerar la elaboración de una lista de todos los pares de especies que tienen la misma función generadora pero que no son isomorfas. Esta lista podría compararse con la de Stanley.
