Rango de valores de $k$ para lo cual $\frac{x-2}{x^2-5x+k}$ no tiene restricciones

Question

Dado que $$ f(x) = \frac{x-2}{x^2-5x+k}$$ y que $x$ es real, encuentre: el rango de valores de $k$ de manera que el rango de $f(x)$ es $\mathbb{R}$ .

Intenté esta pregunta, con el objetivo de realizar un boceto. Esbozar el gráfico en su forma actual no parece muy factible. Por lo tanto, he invertido la función. Examinando $\frac{1}{f(x)}$ . La razón es que la elaboración de un boceto de una función suele ser sencilla si se puede hacer un boceto del recíproco.

$$ \frac{1}{f(x)} = \frac{x^2-5x+k}{x-2} = (x-3)+\frac{k-6}{x-2} $$

A partir de aquí, observé que cuando $k = 6$ , $\frac{1}{f(x)} = x-3$ . Por lo tanto, $f(x) = \frac{1}{x-3}$ . Claramente en este caso $f(x)$ no tiene restricciones.

Sin embargo, tuve problemas para examinar los casos de cuando $k > 6$ y cuando $k < 6$ . No sé cómo elaborar bocetos para esos casos o una forma alternativa de resolverlos. Agradecería alguna orientación.

Answer 1

En primer lugar, vamos a tratar un caso especial, cuando $k=6$ el denominador desaparece en $x=2$ , $f$ no puede tomar valor $0$ . Tenemos claramente la condición de que $k \ne 6$ .

Para $r$ para ser alcanzable, necesitamos $x$ tal que

$$\frac{x-2}{x^2-5x+k} = r$$

$$x-2=rx^2-5rx+kr$$

$$rx^2-(5r+1)x+kr+2=0$$

Por lo tanto, utilizando el discriminante, querríamos $$(5r+1)^2-4r(kr+2) \ge 0$$

Es decir, querríamos elegir $k$ tal que la desigualdad se cumple para todos los $r$ .

$$(25-4k)r^2+2r+1 \ge 0$$

Para que esto sea así para todos $r$ necesitamos $25-4k > 0$ (para la convexidad) y $4-4(25-4k) \le 0$ (discriminante).

Es decir $k < \frac{25}4$ y $1 \le 25-4k$ . Junto con $k \ne 6$ concluimos que $k < 6$ .

Answer 2

Si sabes analizar el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de las raíces y de las asíntotas verticales, puedes utilizarlo en tu beneficio. En primer lugar, observa que $2$ es una única raíz de la función siempre que $x - 2$ no es un factor del denominador (es decir, siempre que $k \neq 6$ ). Además, siempre que el denominador tiene dos raíces reales distintas, hay dos asíntotas verticales. Si $(2, 0)$ está entre ellos, ya que $2$ es una sola raíz, la función es positiva en un lado de $x = 2$ y negativo en el otro, y como hay asíntotas verticales en cada lado, se obtiene un rango de $\mathbb R$ . Todavía quedan más casos, pero a ver si con esto puedes empezar.