Estoy luchando con una idea sobre cómo los cuantificadores se relacionan con los dominios del discurso. Dado un enunciado " $x$ es divisible por $2$ "representado por el predicado $D(x)$ el predicado no tiene actualmente ningún valor de verdad ya que sólo contiene una variable libre. Pero si defino el dominio como todos los números pares he dado esencialmente $D(x)$ un valor de verdad sin vincular la variable con un cuantificador. ¿Por qué es así? Supongo que al definir mi dominio he introducido algún tipo de cuantificación vinculante en el enunciado. Dado que $x$ sigue siendo una variable libre ¿cómo puede tener la afirmación un valor de verdad?
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"Pero si defino que el dominio son todos los números pares he dado esencialmente a D(x) un valor de verdad sin ligar la variable con un cuantificador".
Esto no es del todo correcto. Lo que realmente has hecho es encontrar un modelo que hace que la frase $(\forall x)(Dx)$ Es cierto. Si se añade un único entero impar a su dominio del discurso, la frase $(\forall x)(Dx)$ se convierte en falso. Los valores de verdad son relativos a los modelos.
En cualquier caso, $Dx$ , una fórmula abierta, no tiene un valor de verdad, independientemente del modelo con el que se trabaje. Sólo frases , alias fórmulas cerradas (fórmulas en las que todas las variables están ligadas) tienen valores de verdad en un modelo. Más bien, en un modelo, $Dx$ representa una verdad función su valor de verdad es una función de la variable $x$ adquiere un valor de verdad específico sólo sustituyendo un valor de la variable $x$ .
DanielV
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No es raro que las lógicas asuman una cuantificación universal en todas las variables no vinculadas. ACL2 hace esto, por ejemplo.
Sin embargo, la mayoría de las lógicas también asumen alguna colección predefinida de constantes. En algunas lógicas informáticas ese conjunto es algo parecido a todos los números reales, los enteros, las cadenas, todas las listas de los anteriores.
El Universo de una lógica no es algo que se define mientras se usa la lógica, es algo que se define mientras se crea la lógica. Si defines que tus constantes lógicas son $0, 2, 4, 6, 8....$ entonces llamar a las constantes "números pares" es un significado diferente al que tiene llamar $D(x)$ números pares es. La primera es una afirmación sobre cómo se crea la lógica en términos de alguna idea más universal, la segunda es una afirmación definida utilizando la propia lógica.
En realidad, es bastante absurdo "cambiar el dominio del discurso", porque al hacerlo se ha definido una nueva lógica, y entonces hay que redefinir $D(x)$ en la nueva lógica, utilizando el nuevo conjunto de constantes disponibles.
No conozco ninguna lógica que admita la eliminación de objetos del Universo como método de uso de la lógica. Sin embargo, algunas lógicas sí permiten la introducción de nuevos objetos con distintos grados de utilidad.
CallMeLaNN
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Estoy luchando con una idea sobre cómo los cuantificadores se relacionan con los dominios del discurso. Dado un enunciado "x es divisible por 2" representado por el predicado D(x), el predicado no tiene actualmente ningún valor de verdad ya que sólo contiene una variable libre.
Algunos no estarán de acuerdo, pero no estoy seguro de que las nociones de dominio del discurso o valor de verdad sean tan útiles en este contexto. Se puede empezar una prueba con una premisa inicial $D(x)$ si ha definido $D$ o no, y sacar deducciones sencillas de ello.
Ejemplo:
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$D(x)$ (Supuesto)
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$D(x) \land D(x)$ (Introducción $\land,$ 1, 1)
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$D(x)\implies D(x) \land D(x) $ (Introducción $\implies$ , 1, 2)
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$\forall a:[D(a)\implies D(a)\land D(a)]$ (Introducción $\forall$ , 3)
En esta afirmación, estamos cuantificando sobre todos los objetos, reales o imaginarios. No hay dominio del discurso aquí como tal.
Supongamos que se ha definido previamente un predicado "es divisible por 2". $D$ de la siguiente manera:
$\forall a\in N: [D(a)\iff \exists b\in N: a=2b]$
Para aplicar esta definición a cualquier objeto $x$ antes habría tenido que suponer (o demostrar) que $x\in N.$ Usted podría no ser capaz de aplicar esta definición para $x$ si sólo asumiera que $D(x)$ es cierto.
