Contraejemplos a la Hipótesis de la Rama Única Débil y a la Hipótesis Débil $(\omega_1+1)$ -Hipótesis de la iteración

Question

Esta pregunta mía viene del artículo de Woodin "In Search of Ultimate-L", donde definen la Hipótesis de la Rama Única Débil y la Hipótesis de la Rama Débil $(\omega_1+1)$ -Hipótesis de iteración. Mi confusión surge de la observación $4.15$ y teoremas $4.16$ y $4.17$ en las páginas $32$ - $33$ :

Para citar el $3$ -párrafo de la línea directamente por encima del teorema $4.16$ :

Damos dos contraejemplos al intento de formular variaciones de las hipótesis de iteración anteriores debilitando el requisito de que los árboles de iteración sean $0$ -fuertemente cerrado y maximalista.

Ahora leo esto de dos maneras diferentes según los teoremas que vienen a continuación:

En primer lugar, puedo considerar que tanto la hipótesis de la rama única débil como la hipótesis de la rama débil $(\omega_1+1)$ -La hipótesis de la iteración es errónea en presencia de un cardinal supercompacto y podemos construir contraejemplos que son incluso fuertemente maximales, por no hablar de maximales.

En segundo lugar, puedo entender que ha habido una errata en los teoremas o en las definiciones aquí consideradas, y las definiciones de la Hipótesis de la Rama Única Débil y de la Rama Débil $(\omega_1+1)$ -La hipótesis de la iteración debería haber sido enunciada para $0$ -árboles de iteración fuertemente cerrados y fuertemente maximales y los teoremas deberían habernos dado sólo $0$ -árboles de iteración máxima fuertemente cerrados. Y tengo un poco de evidencia que apoya algún tipo de error tipográfico que ocurre, porque en "Suitable Extender Models I", el mismo teorema de contraejemplo produce árboles totalmente no superpuestos, pero usted puede tomar esto con un grano de sal ya que no sé si totalmente no superpuesto es equivalente a fuertemente maximal o no.

En definitiva, agradecería que alguien me dijera cuál es el caso correcto y qué es lo que se está insinuando aquí.

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EDITAR I : Añado las definiciones y teoremas relevantes para completar, ya que creo que algunos de ellos pueden no ser superestándar o conocidos:

Definición $4.13$ (Débil $(\omega_1+1)$ -Hipótesis de la iteración). Supongamos que $(M, \delta)$ es un premouse de curso contable y $\pi: M\rightarrow V_\Theta$ es una incrustación elemental. Entonces $(M, \delta)$ tiene una estrategia de iteración de orden $(\omega_1+1)$ para $0$ -fuertemente cerrado máximo árboles de iteración en $(M, \delta)$ .

Definición $4.14$ (Hipótesis de la rama única débil). Supongamos que $(V_\Theta, \delta)$ es un curso contable prematuro y que $\mathcal{T}$ es un contable $0$ -fuertemente cerrado máximo árbol de iteración en $(V_\Theta, \delta)$ de la longitud límite. Entonces $\mathcal{T}$ tiene como máximo una rama cofinal bien fundada.

Teorema $4.16$ . Supongamos que existe un cardinal supercompacto. Entonces existe un extensor $E$ tal que $\nu_E = (2^{2^{\kappa}})^{M_E}$ , donde $\kappa = \kappa_E$ y $M_E = \text{Ult}_0(V;E)$ y un $0$ -fuertemente cerrado fuertemente maximalista árbol de iteración $\mathcal{T}$ de longitud $\omega$ tal que $\mathcal{T}$ tiene exactamente dos ramas cofinales bien fundadas.

Teorema $4.17$ . Supongamos que existe un cardinal supercompacto. Entonces existe un extensor $E$ tal que $\nu_E = (2^{2^{\kappa}})^{M_E}$ , donde $\kappa = \kappa_E$ y $M_E = \text{Ult}_0(V;E)$ y un $0$ -fuertemente cerrado fuertemente maximalista árbol de iteración $\mathcal{T}$ de longitud $\omega^2$ tal que $\mathcal{T}$ sólo tiene una rama cofinal y esa rama no está bien fundada.

Observaciones:

• En primer lugar, quiero mencionar que las partes en negrita de los textos son las condiciones de maximalidad de las que hablaba en el grueso del post,

• y segundo, quiero mencionar que los teoremas $4.16$ y $4.17$ que he enumerado aquí, son más débiles que lo que está escrito en el artículo, pero son suficientes para el propósito de mi pregunta.

Answer 1

Creo que el problema principal es que los árboles $\mathcal{T}$ a los que se refieren los teoremas 4.16, 4.17, no están en $V$ pero en $\mathrm{Ult}(V,E)$ . En ambos casos podemos formar un árbol $\mathcal{U}$ en $V$ dado por $E$ seguido de $\mathcal{T}$ pero luego $\mathcal{U}$ es no fuertemente cerrado (ya que no es cierto que $\mathrm{strength}(E)=\mathrm{lh}(E)=$ un cardenal inaccesible (en $V$ )).

Sin embargo, no veo cómo el Teorema 4.17 en sí mismo viola el fortalecimiento de la Débil $(\omega_1+1)$ -Hipótesis de la Iteración, porque (i) 4.17 no dice que las ramas en las etapas límite intermedias sean ramas únicas bien fundadas, y (ii) el árbol está en $V$ no es una subestructura elemental contable de alguna $(V_\theta,\delta)$ . (Sí contradice directamente la CBH, la hipótesis de las ramas cofinales.) Hay material relacionado en Neeman-Steel "Counterexamples to the unique and cofinal branches hypotheses". En el árbol que hay un contraejemplo a la CBH (el árbol $\mathcal{U}$ construido al final), el árbol tiene una longitud $\omega^2$ y consiste en un único extensor seguido de un $\omega$ -secuencia de cadenas alternas, por lo que en cada etapa límite intermedia $n\times\omega$ , hay exactamente 2 ramas cofinales. Pero en su construcción, dicen que ambas ramas dan modelos bien fundados (de hecho son el mismo modelo). Así que no me queda claro que el árbol no haya seguido una estrategia de iteración equivocada. En segundo lugar, supongamos que el árbol $\mathcal{T}$ a la que nos referimos en el punto 4.17 sí tiene ramas únicas bien fundadas en etapas intermedias. Entonces se podría intentar formar un casco elemental contable $M$ de algunos $(V_\Theta,\delta)$ para que la imagen se refleje hasta $M$ . Esto funcionaría bien si, por ejemplo, las etapas intermedias son todas cadenas alternas. Pero si en cambio son lo suficientemente complejas como para tener muchas ramas cofinales, entonces la unicidad de las ramas bien fundadas no parece pasar automáticamente a $M$ . Así que, por lo que veo, esto también hay que solucionarlo.