$C^*$ -subálgebra de $B_0(\mathcal{H})$ que contiene todos los operadores adjuntos compactos es igual a $B_0(\mathcal{H})$ .

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*$ -subálgebra de $B_0(\mathcal{H})$ los operadores compactos en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Supongamos que $A$ contiene todos los operadores compactos autoadjuntos. ¿Podemos concluir que $A= B_0(\mathcal{H})?$

Me parece razonable. ¿Tal vez algún teorema de descomposición pueda ayudar aquí?

Answer 1

Por supuesto. Cada $T\in B_0(\mathcal H)$ puede escribirse como $T = (T+T^*)/2 + (T - T^*)/2$ donde $(T+T^*)/2$ y $i (T - T^*)/2$ son compactas y autoadjuntas.