Prueba de que $f$ es diferenciable

Question

Dejemos que $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} \cos{nx}$$ Prueba de que $f$ es diferenciable en $(-2,2)$

mi enfoque

dejar $ m := \frac{x}{2} $ así que $m<1$ $$ \left| \frac{x^n}{2^n} \cos{nx} \right| \le m^n \rightarrow 0 $$ Así que por comparación tenemos la convergencia de puntos. Pero no sé cómo tratar con diffentiable..

Answer 1

Serie de derivados, $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n x^{n - 1} \cos nx - n x^n \sin nx}{2^n}$ converge uniformemente en cualquier subsegmento de $(-2, 2)$ (por comparación de nuevo) y la propia serie converge. Entonces la serie converge a una función diferenciable (y su derivada es la suma de series de derivadas) - véase, por ejemplo, el teorema 7.17 de Rudin, "Principios del análisis matemático".

Para demostrar que la serie es uniformemente convergente en $(-2 + \alpha, 2 - \alpha)$ podemos observar que $|n x^{n - 1} \cos nx - nx^n \sin nx| \leqslant 2 \cdot n \cdot (2 - \alpha)^n$ y es menos entonces $(2 - \frac{\alpha}{2})^n$ para que sea lo suficientemente grande $n$ . Y la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{(2 - \frac{\alpha}{2})^n}{2^n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{\alpha}{4}\right)^n$ converge.