Estoy tratando de mostrar si $E_k \subset (0, 1)$ , $(k=1,...,n)$ y $\sum_{1 \le k \le n}{\mu(E_k)} > n -1$ entonces $\mu(\bigcap_{1 \le k \le n}{E_k}) > 0$ .
Intuitivamente esto parece una afirmación tan obvia, pero me ha costado mucho demostrarlo. A continuación se presenta un análisis que pude realizar con respecto a este problema.
Usando la ley de Demorgan sabemos $\bigcap_{1 \le k \le n}{E_k} = (\bigcup_{1 \le k \le n}{{E_k}^\mathsf{c}})^\mathsf{c}$ y, obviamente, la medida de $\bigcup_{1 \le k \le n}{{E_k}^\mathsf{c}}$ siendo un subconjunto de $(0,1)$ está acotado entre 0 y 1. Me está costando explotar el límite inferior de la suma finita de medidas. He pensado en utilizar la inclusión-exclusión, pero eso probablemente crearía también otros términos.
¿Cómo puedo demostrarlo? Gracias.
