Inexistencia de un mapa holomorfo en el disco

Question

¿Existe una función $f$ que es holomorfo en el disco unitario perforado tal que $f^{\prime}$ tiene un polo de orden $1$ ? Mi respuesta es: No.

El siguiente post tiene una respuesta a mi pregunta.

Demuestre que no hay ninguna función $f$ que es analítica en el disco unitario perforado y $f'$ tiene un polo simple en $0$ .

Este es mi razonamiento:

Dejemos que $f$ sea una función de este tipo. Entonces $f^{\prime} (z) = \frac{g(z)}{z}$ para alguna función holomórfica $g$ en el disco fotografiado y $g(0)$ NO es igual a $0.$ Ahora, tomando la integral de ambos lados a lo largo de la frontera de un pequeño disco que está contenido en el disco unitario, tenemos $0 = g(0),$ que es una contradicción. ¿Es este un argumento válido? Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Solución alternativa: si la serie de Laurent de $f$ es $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n,$$ entonces la serie de Laurent de $f'$ será $$ f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty}na_n z^{n-1} + \sum_{n=-\infty}^{-1}na_n z^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n + 1)a_{n+1}z^n + \sum_{n=-\infty}^{-2}(n + 1)a_{n+1}z^n. $$ Además, utilizando la integración por partes ( "Integración por partes" en el análisis complejo ): $$ 2\pi i\,{\rm res}(f',0) = \int_\gamma f'(z)1\,dz = - \int_\gamma f(z)0\,dz = - \int_\gamma 0\,dz = 0. $$