Las transformadas de Legendre aparecen en toda la física. Por ejemplo, en la mecánica estadística, nos permiten movernos entre descripciones en términos de diferentes potenciales termodinámicos. Del mismo modo, en la teoría cuántica de campos, se utilizan para construir la acción efectiva $\Gamma[\varphi]$ (el funcional generador de los correladores irreducibles de una partícula) de $W[J]$ la función generadora de los correlacionadores conectados.
La cuestión es que a menudo se ven estas transformaciones de dos formas diferentes. Puede ser $$\Gamma[\varphi] = \sup_J(J \cdot \varphi - W[J]),$$ véase, por ejemplo ici o simplemente $$\Gamma[\varphi] = J \cdot \varphi - W[J].$$ como está escrito ici y en Wikipedia . Entiendo que tomar el supremum asegura que $\Gamma[\varphi]$ termina siendo una función convexa de $\varphi$ . Entonces, ¿por qué algunas personas se preocupan por esto y otras no? ¿Hay algo más, tal vez con respecto a la invertibilidad?
