Probabilidad de colisión para dos realizaciones de una variable aleatoria uniformemente distribuida.

Question

Problema

Supongamos la variable aleatoria discreta uniforme X con n valores en E = {1,2,..,n} . Se produce una colisión si dos realizaciones independientes dan como resultado el mismo valor. Sea P(C) denota esto probabilidad de colisión .

Preguntas

• ¿Cuál es la probabilidad de colisión? ¿Cuál es la probabilidad de una colisión en función de la distribución de X ?

Mis pensamientos

Por lo que tengo entendido, X toma entradas de un espacio muestral al azar y las asigna a un valor en E . Para encontrar la probabilidad de una colisión - en otras palabras, que dos entradas diferentes del espacio muestral se correspondan con el mismo valor en E - Hago las siguientes suposiciones.

• suponga que se elige una entrada aleatoria y X lo asigna a algún x en E
• suponga que se elige otra entrada aleatoria. La probabilidad de que X también lo asigna al mismo x en E es 1/n , como X es uniforme.

Soy bastante nuevo en estas cosas y cualquier aportación será muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

En general, si $X$ tiene una distribución de probabilidad discreta que toma valores en algún conjunto contable $S$ entonces la probabilidad de una colisión es: $$P(\mathsf C)=\sum_{s\in S}P(X=s,Y=s)=\sum_{s\in S}P(X=s)P(Y=s)=\sum_{s\in S}p(s)^2$$ donde $p$ denota la función de masa de probabilidad de $X$ y la segunda igualdad explota la independencia.

Aplicando eso aquí encontramos: $$P(\mathsf C)=\sum_{s=1}^n\frac1{n^2}=n\cdot\frac1{n^2}=\frac1n$$ para la probabilidad de colisión.

La forma en que lo has manejado tú es más directa y más elegante, pero no es fructífera si la distribución no es uniforme.