Empujes de homotopía y mapas inducidos

Question

Supongamos que nos encontramos en una categoría de modelos cerrada adecuada y consideramos un cuadrado conmutativo $$ \begin{array}{rcl} A&\to& B\\ \downarrow&&\downarrow\\ C&\to&D \end{array} $$ en su categoría de homotopía. Este cuadrado es canónicamente isomorfo en la categoría de homotopía a un cuadrado en el que todos los morfismos son morfismos de la categoría modelo (suponemos aquí que tenemos factorizaciones functoriales (fijas) de manera que todo esto puede hacerse bien). Por lo tanto, el cuadrado anterior es un cuadrado conmutativo en la categoría de modelos.

Si factorizamos (funcionalmente) el morfismo $A\to B$ en una cofibración seguida de una fibración trivial como $A\to B'\to B$ podemos formar el empuje categórico $P$ de $$ \begin{array}{rcl} A&\to& B'\\ \downarrow&&\\ C& \end{array} $$ Existe un mapa inducido $i:P\to D$ en la categoría de homotopía y se puede definir el cuadrado inicial como un plaza homotpy pushout si el mapa $i$ es un isomorfismo en la categoría de homotopía.

Si se considera ahora un cuadrado de empuje homotópico de este tipo $$ \begin{array}{rcl} A&\to& B\\ \downarrow&&\downarrow\\ C&\to&D \end{array} $$ en la categoría de homotopía con morfismos $B\to E$ y $C\to E$ tal que todo conmuta, debería haber un morfismo (¿único?) $e:D\to E$ en la categoría de homotopía obtenida por la construcción anterior.

Mi pregunta es: ¿Por qué esta construcción no es el colímite en la categoría de homotopía? He oído que los colímites de homotopía no son colímites categóricos en la categoría de homotopía. ¿Falla con el singularidad del morfismo $e$ ? La existencia de $e$ debe estar seguro. ¿Se tiene al menos la existencia de un morfismo inducido (¡en la categoría de homotopía!) para los (co)límites generales de homotopía?

Answer 1

No es cierto que el colímite de homotopía sea el colímite en la categoría de homotopía. De hecho, los colímites (que no sean uniones disjuntas, por ejemplo) tienden a no existir allí.

Aquí hay un poco de intuición para los colímites de homotopía. (Una buena referencia es el libro de Dan Dugger imprimación sobre el tema). Supongamos que tenemos un diagrama de, digamos, espacios o conjuntos simpliciales, como en $$\begin{array}{rcl} A&\to& B\\ \downarrow&&\downarrow\\ C&\to& \end{array}$$

Para formar el push-out en un sentido ordinario, se tomaría la unión disjunta $B \sqcup C$ y luego cotizamos por la relación que para cada $a \in A$ la imagen de $a$ en $B$ se identifica con el de $C$ . Esto, sin embargo, no es invariante de la homotopía, porque la operación de cociente de esta manera no se comporta bien homotópicamente. Una variante mejor (desde este punto de vista, al menos) es no cotizarse por esta relación, sino pegar caminos para ella. Es decir, si $i: A \to B, j: A \to C$ entonces, para formar el empuje de homotopía de este diagrama, se deben dibujar caminos desde $i(a)$ a $j(a)$ para cada $a \in A$ . Esta es una construcción explícita del push-out de homotopía que funciona para espacios que son agradables (digamos, complejos CW) o para conjuntos simpliciales arbitrarios (para la teoría más general, deberías buscar la fórmula de Bousfield-Kan). Se puede comprobar que, en este caso, la operación que se acaba de describir se comporta bien desde el punto de vista homotópico, y que es débilmente equivalente al colímite habitual para los diagramas cofibrantes proyectivos.

Así pues, tomemos esto como nuestra construcción explícita del empuje de homotopía de los espacios o conjuntos simpliciales. Ahora, queremos describir los mapas del empuje de homotopía, que llamaré $D$ en un espacio arbitrario $X$ . Por definición, esto viene dado por los mapas $B \to X$ , $C \to X$ y un homotopía $A \times I \to D$ de la restricción $A \to B \to X$ con $A \to C \to X$ . Esto se deduce de la otra construcción como $D$ pegando muchos caminos. Nótese que la homotopía en sí misma es parte de los datos; no basta con dar dos mapas que resulten ser homotópicos. Podemos pensar en esto como un espacio de mapas, y sus componentes conectados son los morfismos $[D, X]$ en la categoría de homotopía.

Ahora, si el espacio de mapas $D \to X$ eran sólo el espacio de los mapas $B \to X, C \to X$ cuya restricción a $A$ fueran homotópicos, entonces tienes razón: $D$ sería el push-out en la categoría de homotopía. Pero el problema es que la homotopía tiene que estar incluida en los datos. He aquí un ejemplo explícito para ilustrar esto. Sea $B = C = \ast$ . Entonces el empuje de homotopía viene dado por el trazado de caminos $\ast \to \ast$ para cada $a \in A$ En otras palabras, esto es la suspensión de $A$ (el hecho de que se reduzca o no depende de si se trabaja en la categoría de puntas o de no puntas). Lo que dice lo anterior es que para dar un mapa $\Sigma A \to D$ es dar dos puntos de $D$ y una homotopía entre los dos mapas constantes $A \to D$ dado por estos puntos; esto es razonable. Más aún, en este caso el empuje de la homotopía no es definitivamente el empuje de la categoría de homotopía, porque $\ast$ es final en la categoría de homotopía y que el push-out sería $\ast$ .

Por último, nótese que incluso los límites inversos de homotopía no son límites inversos en la categoría de homotopía (por ejemplo, debido a las secuencias exactas de Milnor con $\lim^1$ términos).

Answer 2

Creo que ni siquiera tienes la existencia de $e$ .

El problema es:

1. Qué son los morfismos en la categoría de homotopía, y
2. Cuando dos morfismos son iguales en la categoría de homotopía.

En cuanto a la primera pregunta, en general la respuesta es que un morfismo de $A$ a $B$ en la categoría de homotopía es una secuencia de mapas de la categoría original

$$ A= A_0 \stackrel{\sim }{\longleftarrow} A_1 \longrightarrow A_2 \stackrel{\sim}{\longleftarrow} \dots \stackrel{\sim}{\longleftarrow} A_n \longrightarrow B $$

donde las que van a la izquierda son equivalencias débiles.

En general, es difícil saber cuando dos secuencias de este tipo son iguales. Lo mejor que se puede pensar es que su clase de equivalencias débiles admite una (derecha, izquierda) cálculo de fracciones . Entonces, las flechas en la categoría de homotopía son secuencias de longitud $2$

$$ A \stackrel{\sim}{\longleftarrow } A_1 \longrightarrow B $$

y la igualdad entre dos de estas secuencias significa que algún diagrama formado por cuatro triángulos es conmutativo. En general, la igualdad implica diagramas conmutativos más grandes en la categoría original. Para más información, véase Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith, "Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories", AMS Math. Surveys and Monographs, 113.

Por lo tanto, intente ahora decir cuál es el significado de dos flechas (secuencias) de este tipo a partir de su $B$ y $C$ y terminando en $E$ para formar un diagrama conmutativo en la categoría de homotopía . Entonces, trata de imaginar cómo esto podría implicar la existencia de algún $e: D \longrightarrow E$ .

EDITAR. Tal vez pueda añadir otro punto de vista. Si $\cal{C}$ es una categoría modelo, entonces su categoría de homotopía (de Quillen) (obtenida invirtiendo sus equivalencias débiles) $\mathrm{Ho} \cal{C}$ es equivalente a la categoría de homotopía (clásica) $\pi_{cf}(\cal {C})$ ; es decir, la categoría cuyos objetos son los fibrantes-cofibrantes y los mapas son clases de homotopía de mapas de $\cal{C}$ .

Por lo tanto, este $\pi_{cf}(\cal {C})$ le permite una representación más específica de los mapas de la categoría de homotopía (equivalente, de Quillen): aquí, son "reales" (clases de homotopía de) los mapas de $\cal{C}$ , no secuencias inmanejables.

Incluso en esta categoría homotópica equivalente, el problema persiste: cuando se tienen dos (clases) de mapas $B \longrightarrow E$ y $C \longrightarrow E$ haciendo que su diagrama sea conmutativo en $\pi_{cf}(\cal {C})$ ... "Conmutativo" en $\pi_{cf}(\cal {C})$ significa conmutativo hasta la homotopía en $\cal{C}$ . Y no importa si sus objetos son fibrantes-cofibrantes y sus morfismos cofibrantes: a partir de la propiedad universal del empuje en $\cal{C}$ no se puede deducir la existencia de $e: D \longrightarrow E$ si tiene conmutatividad hasta homotopía en el diagrama que implica $B \longrightarrow E$ y $C \longrightarrow E$ .