encontrar la secuencia de entrada de un sistema dinámico de tiempo discreto

Question

Estoy estudiando Sistemas Dinámicos, en realidad sistemas lineales y me encontré con la siguiente pregunta:

Consideremos el siguiente sistema dinámico de tiempo discreto:

$x_{i+1}= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) x_i + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) u_i$ , $i \geq 0$ , $y_i= \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &-1\end{array} \right) x_i$ .

a)¿Se puede acceder al sistema?

b)¿Es el sistema observable?

c) ¿Se puede controlar el sistema?

d)El sistema comienza en el origen. Queremos llevarlo al estado $x_f = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\end{array} \right)^T $ . ¿Podemos hacerlo en un solo paso?

e)Ahora, que el sistema comience en $x_0 = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\end{array} \right)^T $ . Encuentre una secuencia de entrada que lo lleve de vuelta al origen.

Sé cómo resolver a), b),c) pero necesito ayuda en d) y e). ¿Hay alguna forma sistemática de abordar d) y e) o algún lugar donde pueda leer sobre este tipo de preguntas?

Answer 1

Puedes utilizar la solución de la ecuación. Observa que si $x_{i+1} = A x_i + B u_i$ entonces

$$\begin{align} x_1 &= A x_0 + B u_0 \\ x_2 &= A x_1 + B u_1 = A^2 x_0 + A B u_0 + B u_1 \\ &\vdots \\ x_k &= A x_{k-1} + B u_{k-1} = A^k x_0 + B u_{k-1} + AB u_{k-2} + \dots + A^{k-1}B u_0 \\ x_k &= A^k x_0 + \begin{bmatrix}B & AB & \dots & A^{k-1} B \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{k-1} \\ u_{k-2} \\ \vdots \\ u_0 \end{bmatrix} \end{align}$$

En realidad, esto es una prueba de la condición de alcanzabilidad. Ahora puedes introducir $x_0$ y $x_f$ y resolver el vector de entrada.

Puede probar con diferentes valores de $k$ para ver cuántos pasos son necesarios para alcanzar el estado deseado. Tenga en cuenta que no es necesario comprobar $k > n$ (donde $n$ es el grado del sistema) debido al Teorema de Cayley-Hamilton. Si no se puede alcanzar el estado deseado en $n$ pasos, entonces no se puede alcanzar en absoluto.

Answer 2

D) En un paso con $x_0 = 0$ tienes $x_1 = B u_0$ , por lo que sólo se puede llegar a la imagen de $B$ es decir

$$\operatorname{im} B = \operatorname{span} \left(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\top,\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\top \right) \\ = \{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\top a + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\top b\ |\ a,b \in \mathbb{R} \}$$

Así que no podemos alcanzar $x_f = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}^\top$ ya que no está en la imagen de B. No existe $a$ y $b$ de manera que podamos crear el vector $x_f$ en 1 paso.

Veamos si podemos hacerlo en 2 pasos, $x_2 = A x_1 + B u_1 = A (A x_0 + B u_0) + B u_1 = A^2 x_0 + AB u_0 + B u_1 = AB u_0 + B u_1$ (recuerde que $A^2 x_0$ desaparece desde $x_0 = 0$ ). Así que ahora podemos llegar a los estados dados por $\operatorname{im} \begin{bmatrix} B & AB\end{bmatrix}$ que da tres vectores elementales $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\top$ , $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^\top$ , $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^\top$ . Por lo tanto, podemos llegar a $x_f$ en dos pasos ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar $u_0$ y $u_1$ .

Ahora hay múltiples soluciones para $u_0$ y $u_1$ por lo que no hay una manera decisiva de calcularlos, sólo se puede "probar" lo que puede dar los vectores $u_0 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}^\top$ y $u_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \end{bmatrix}$ o también se puede utilizar el pseudoinverso de Moore-Penrose de $R_t = \begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}$ . Tenga en cuenta que esto sólo es válido cuando se inicia desde $x_0 = 0$ . Sea $\bar{u}$ sean los vectores de entrada apilados, $\bar{u} = R_t^\top (R_t R_t^\top)^{-1} x_f$ . Para su ejercicio obtendrá que $\bar{u} = \begin{bmatrix} u_1 & u_0 \end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix} 0.4 & -1 & 0.8 & 1 \end{bmatrix}^\top$ .

e) Ahora $x_0 = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}^\top \neq 0$ . Ahora se puede calcular cuál es la influencia de $x_0$ es por $A^2 x_0 = \begin{bmatrix} 8 & 8 & 8 \end{bmatrix}^\top$ ahora puedes utilizar la misma técnica que en d) para dirigir $ABu_0 + B u_1$ a $\begin{bmatrix} -8 & -8 & -8 \end{bmatrix}^\top$ como tal haciendo que el resultado de $A^2x_0 + ABu_0 + B u_1$ para ser $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ .