Dada una función real tal que para cada $t\in\mathbb{R}$ , $\lim_{n\rightarrow\infty}f(n,t)=0$ ¿Puedo expresar esto en inglés diciendo que $f(n,t)$ se desvanece como $n\rightarrow\infty$ , uniformemente en $t$ ? Mis dudas son sobre el uso de la palabra uniformemente en el sentido débil de un límite puntual que es siempre el mismo para todos $t$ cuando se trata de límites paramétricos, ya que podría significar algo más fuerte, que es la convergencia uniforme de la secuencia de funciones $(f_n(t))$ . Así que en conclusión, ¿puede el adverbio uniformemente ¿se utiliza en este sentido débil en inglés? ¿O sólo se utiliza para el límite uniforme de secuencias de funciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
JLust
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Estas son las definiciones formales:
Decimos que $f_t(n)$ convergencia puntual a $0$ como $n\rightarrow\infty$ si,
$$\forall_{\varepsilon>0} \forall_{t\in\mathbb{R}}\exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{n>N} |f_t(n)-0|<\varepsilon$$
Decimos que $f_t(n)$ convergencia uniforme a $0$ como $n\rightarrow\infty$ si,
$$\forall_{\varepsilon>0} \exists_{N\in\mathbb{N}} \forall_{t\in\mathbb{R}} \forall_{n>N} |f_t(n)-0|<\varepsilon$$
En otras palabras, la convergencia es uniforme si se puede encontrar el mismo $N$ para todos $t\in\mathbb{R}$ .
Ejemplos:
Por ejemplo, el mapa $f_t(n) = \frac{t}{n}$ convergen puntualmente a $0$ como $n\rightarrow \infty$ pero no de manera uniforme (porque se necesita un $N$ más $t$ crece).
