¿Cómo visualizar el nervio de las estrellas de todos los vértices de un complejo simplicial?

Question

Me encontré con un teorema que dice que un complejo simplicial es una realización geométrica del nervio de las estrellas de sus vértices. En este caso, consideramos estrellas abiertas (conjunto de símiles abiertos cuyo vértice es una cara). Me parece que la colección de estrellas de todos los vértices del complejo dará el complejo mismo, y el complejo es entonces trivialmente la realización geométrica del nervio de sí mismo. ¿Podría alguien ayudarme a visualizar la colección de estrellas de todos los vértices de un complejo simplicial? Gracias

Answer 1

Una cara del nervio del recubrimiento de estrellas abiertas es (por definición) precisamente un conjunto finito no vacío de vértices, cuyas estrellas abiertas se cruzan de forma no trivial.

Es decir $(v_1v_2\cdots v_r)$ es una cara del nervio de las estrellas si y sólo si existe algún punto en el interior de un simplex, cuyos vértices incluyen $v_1,v_2,\cdots,v_r$ . Esto sucede si y sólo si $(v_1v_2\cdots v_r)$ es un simplex en el complejo simplicial original.

Es decir, terminas con el mismo complejo simplicial con el que empezaste, así que por supuesto tienen la misma realización geométrica.