$tr(x \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g(x))=\dim \bigcap_{g \in G}\{x \in E : g(x)=x\}$ ?

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ y $G$ sea un subgrupo finito de $Gl(E)$ . Planteamos $F:=\bigcap_{g \in G}\{x \in E : g(x)=x\}$ . Sea $\phi\in \mathcal{L}(E)$ tal que $\phi :x \mapsto \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g(x)$

Mi pregunta es, ¿por qué $tr(\phi)=\dim F$ ?

Answer 1

En primer lugar, afirmamos que $\phi$ es idempotente, es decir, que $\phi\circ \phi=\phi$ . Para ver esto, observe que $g_0\circ \phi=\phi$ por cada $g_0\in G$ ya que tenemos $g_0\circ \phi=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g_0\circ g=\frac{1}{|G|}\sum_{h\in G}h=\phi$ mediante el cambio de variables $h=g_0^{-1}\circ g$ que es biyectiva ya que $G$ es un grupo. Por lo tanto, para cualquier $v\in E$ tenemos $$(\phi\circ \phi)(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}(g\circ \phi)(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\phi(v)=\frac{1}{|G|}|G|\phi(v)=\phi(v),$$ como se desee. Así que, $\phi$ es idempotente, por lo que $E=\operatorname{im}(\phi)\oplus\operatorname{ker}(\phi)$ De ahí que $\operatorname{tr}(\phi)=\dim\operatorname{im}(\phi)$ . (¿Por qué?) Ahora reclamamos $\operatorname{im}(\phi)=\{v\in E:g(v)=v\text{ for all }g\in G\}$ que mostrará el resultado deseado. La inclusión $\subseteq$ se deduce del hecho de que $g\circ \phi=\phi$ para todos $g\in G$ como se ha señalado anteriormente. Para ver la inclusión $\supseteq$ Supongamos que $g(v)=v$ para todos $g\in G$ . Entonces tenemos $$v=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}v=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g(v)=\phi(v),$$ así que $v\in\operatorname{im}(\phi)$ , según se desee.