Cómo activar una función en una densidad de probabilidad, mientras que el mantenimiento de la forma de la función?

Question

Tengo una serie de funciones, cada uno supuestamente representa la densidad de una variable aleatoria a través de agentes. Cada función tiene también un dominio, que describe lo que los valores de la variable aleatoria son válidos.

Ahora, si recuerdo mis estadísticas clases correctamente, si puedo tomar la integral de una de las funciones a través de los valores descritos por la función del dominio, que debería obtener un valor de 1.0. Esto no sucede sin embargo.

Hay una normalización técnica que puede activar una función en un verdadero densidad de probabilidad, sin embargo, se mantiene la forma de la función?

Todas las funciones son de la forma $\frac{a}{bx}+c$ donde $x$ es la variable aleatoria, y $a,b,c$ son variables constantes.

Answer 1

Si usted tiene un no-negativo función integrable $f$ dominio $D$ tal que

$$ k = \int_{D} f(x) dx < \infty $$

A continuación, $f(x)/k$ es una densidad de probabilidad en $D$. El valor de $k$ es conocido como el de la normalización de la constante.

Edit: En su ejemplo, usted dijo que $f(x) = \frac{a}{bx} + c$ conocidas las constantes de $a,b,c$. En ese caso, la integral indefinida es simple de calcular y la normalización de la constante sería

$$ k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

si $D$ es un intervalo de $(A,B)$, esto se simplifica a

$$ k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A) $$ Therefore $$ g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ is a probability density on $(A,B)$.