Demostrar que $T$ no es una transformación lineal. $T: \Bbb R \to \Bbb R; T(x)=x^2$

Question

Actualmente estoy trabajando en una tarea de álgebra lineal y necesito demostrar que $T$ no es una transformación lineal $T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; T(x)= x^2 $

Answer 1

Una transformación lineal requiere tres cosas:

1. $T(0)=0$
2. $T(x)+T(y)=T(x+y)$
3. $T(kx)=kT(x)$

$T(x)=x^2$ pasa $1$ pero no $2$ o $3$ y por lo tanto no es una transformación lineal.

Answer 2

Si $k\ne 1$ y $k\ne 0$ entonces,

$$T(kx)=k^2x^2\ne kT(x)$$

Además, si $x\cdot y \ne 0$ entonces

$$T(x+y)=(x+y)^2\ne x^2+y^2= T(x)+T(y)$$