Límite del cociente de dos funciones analíticas $|f(z)|=|g(z)|$

Question

Dejemos que $f,g$ sean dos funciones analíticas en el dominio $\Omega$ tal que $|f(z)|=|g(z)|$ en todo $\Omega$ .

Creo que $h(z)=f/g$ sólo tiene singularidades removibles (no se puede probar realmente...), por las siguientes razones. Si $g(z_0)=0$ entonces $f(z_0)=0$ y $$\lim_{z\to z_0}h(z)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to z_0}\frac{|f(z)|e^{\arg f(z)}}{|f(z)|e^{\arg g(z)}}\\ =\lim_{z\to z_0}\frac{e^{\arg f(z)}}{e^{\arg g(z)}}=e^{\arg f(z_0)-\arg g(z_0)}.$$ Así, definimos $h(z_0)$ para ser este valor (EDIT este valor es indefinido :( ). También, $$ \lim_{z\to z_0}h'(z)=\lim_{z\to z_0}\frac{(f'g-g'f)(z)}{g(z)^2}\\ =\lim_{z\to z_0}(\frac{f'}{g}-\frac{g'}{g}\cdot\frac{f}{g})\\ =\lim_{z\to z_0}\frac{f'-hg'}{g}=\ldots? $$ Ahora no puedo proceder a demostrar que $h'(z)$ existen en $z=z_0$ .

¿Cómo puedo hacer $h$ ¿analítica?

PD: si $h$ se hace analítica, puedo demostrar por integración que $f(z)=e^{\alpha i}g(z)$ para algunos fijos $\alpha\in \mathbb R$ .

¿Alguna ayuda con el problema?

Answer 1

El problema con su enfoque es que $\arg f(z_0) = \arg 0$ y $\arg g(z_0) = \arg 0$ no están definidos, y en realidad $w \mapsto \arg w$ no puede sea definida como una función continua en la vecindad de $w=0$ .

Pero su suposición de que $h = f/g$ sólo tiene singularidades removibles correctas. Se deduce directamente de Teorema de Riemann sobre las singularidades extraíbles porque $h$ es limitado. Por lo tanto, $h$ puede extenderse a una función holomorfa sobre $\Omega$ .

Finalmente, $|h(z)| \equiv 1$ implica que $h$ es constante debido al teorema del módulo máximo (o mapa abierto).

Answer 2

Si $f$ tiene un cero de orden $n$ en $z_0$ entonces $f(z)=(z-z_0)^{n}h(z)$ con $h$ analítica y no nula en una vecindad de $z_0$ . Esto implica que $g$ también tiene un cero de orden $n$ en $z_0$ . Del mismo modo, si $g$ tiene un cero de orden $n$ en $z_0$ también lo hace $f$ . Por lo tanto, los ceros de $g$ son anulados por los de $f$ en la proporción $\frac f g$ . Esto hace que $\frac f g$ función analítica con módulo $1$ por lo tanto una constante (por MMP). La constante debe tener el módulo $1$ por lo que es de la forma $e^{i\alpha}$ donde $\alpha$ es real.