Resolver $\frac {2 \tan x}{1-\tan^2x} = \sin^22x$

Question

¿Cómo podría resolver esta ecuación trigonométrica?

$$\frac {2 \tan x}{1-\tan^2x} = \sin^22x$$

Llegué a esta etapa: $$\frac{\sin2x}{\cos2x} = \sin^22x$$

¿Es un callejón sin salida?

Answer 1

Utilizando $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$ ,

$$\frac {2 \tan x}{1-\tan^2x}=\tan 2x=\sin 2x\sec 2x$$

$$\sin 2x\sec 2x=\sin^22x$$

$$\sin 2x\big(\frac{1}{\cos 2x}-\sin 2x\big)=0$$

Así que, o bien $\sin2x=0$ o $\frac{1}{\cos 2x}=\sin 2x$ La primera la puedes resolver fácilmente.

Para el segundo, $$\sin 2x\cos 2x=1$$ $$\frac{1}{2}\sin 4x=1$$ $$\sin 4x=2$$ que no es posible porque $-1\le \sin\theta\le 1$

Así que sólo las soluciones de la primera ecuación satisfacen la ecuación dada.

Answer 2

Intenta reescribirlo de la siguiente manera. $$0=\sin^2(2x)-\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$$ $$0 = \sin(2x) \cdot \left[\sin(2x)-\frac{1}{\cos(2x)}\right]$$ $$0= \sin(2x) \cdot \frac{\sin(2x)\cdot \cos(2x)-1}{\cos(2x)}$$ A continuación, utilice $\sin(2x) \cdot \cos(2x) = \frac{\sin(4x)}{2}$ .