Cómo demostrar que $h$ es continua?

Question

Reclamación. Dejemos que $f,g:X\to Y$ sean dos funciones continuas donde la topología en $Y$ es topología de pedidos . Definir $h:X\to Y$ como $h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ . Entonces demuestre que $h$ es continua.

Mi intento (boceto muy aproximado)

Dejemos que $V$ sea un conjunto abierto en $Y$ . Entonces existe $(B_\alpha)_{\alpha\in I}$ tal que $$V=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in I} B_\alpha$$ donde $B_\alpha$ son elementos de base. Para demostrar que $h$ es continua, tenemos que demostrar que $h^{-1}(V)$ está abierto en $Y$ . Ahora, $$h^{-1}(V)=h^{-1}\left(\displaystyle\bigcup_{\alpha\in I} B_\alpha\right)=\displaystyle\bigcup_{\alpha\in I} h^{-1}(B_\alpha)$$ Ahora hacemos el siguiente procedimiento. Sustituimos $f^{-1}(B_\alpha)$ en lugar de $h^{-1}(B_\alpha)$ si $x\in f^{-1}(B_\alpha)\implies f(x)=h(x)$ . Si no, sustituimos $g^{-1}(B_\alpha)$ . Ahora tomamos la unión de todos esos $f^{-1}$ et $g^{-1}$ 's. Permítanme denotar esto por $\mathcal{U}$ .

Observe que, $x\in h^{-1}(V)$ implica que existe algún elemento base $B_\alpha$ tal que $x\in h^{-1}(B_\alpha)$ . Así que, \begin{align}x\in h^{-1}(B_\alpha)&\implies h(x)\in B_\alpha\\&\implies (f(x)\in B_\alpha)\lor (g(x)\in B_\alpha)\\&\implies (x\in f^{-1}(B_\alpha))\lor (x\in g^{-1}(B_\alpha))\\&\implies x\in \mathcal{U}\end{align} Para la parte inversa, observe que $x\in \mathcal{U}$ implica que sin pérdida de generalidad existe algún $B_\alpha$ tal que $x\in f^{-1}(B_\alpha)$ . Ahora por nuestra construcción, \begin{align}x\in f^{-1}(B_\alpha)&\implies (f(x)=h(x))\land(f(x)\in B_\alpha)\\&\implies h(x)\in B_\alpha\\&\implies x\in h^{-1}(B_\alpha)\\&\implies x\in h^{-1}(V)\end{align}

Mis preguntas

1. ¿Podemos justificar la sustitución de $f^{-1}(B_\alpha)$ (o $g^{-1}(B_\alpha)$ ) como he descrito anteriormente?

2. ¿Puede alguien darme alguna prueba alternativa de la afirmación? (Si va a publicar una respuesta a esta pregunta, por favor considere publicar también una respuesta a la pregunta anterior).

Answer 1

Una pista:

Para $h=\max\{f,g\}$ , $h(x)>\alpha$ si y sólo si $f(x)>\alpha$ o $g(x)>\alpha$ . Así,

$\{x\in X:h(x)>\alpha\}=\{x\in X:f>\alpha\}\bigcup\{x\in X:g>\alpha\}$ está abierto en $X$ ya que es la unión de dos conjuntos abiertos en $X$ .

Answer 2

Su prueba es válida, pero sería mejor dividirla en etapas. Así es como yo la escribiría:

Lema Dejemos que $X,Y$ sean espacios topológicos, y sea $(U_\alpha\colon\alpha\in A)$ sea una base de conjuntos abiertos para $Y$ . Sea $f\colon X\to Y$ sea una función y supongamos que $f^{-1}(U_\alpha)$ está abierto en $X$ para todos $\alpha$ . Entonces $f$ es continua.

Prueba. Tenemos que demostrar que si $V\subset Y$ está abierto, entonces $f^{-1}(V)$ está abierto en $X$ . Podemos escribir $V=\bigcup_{\beta\in B}U_\beta$ para algunos $B \subset A$ . Entonces $$ f^{-1}(V)=f^{-1}\left(\bigcup_{\beta\in B}U_\beta\right)=\bigcup_{\beta\in B}f^{-1}(U_\beta) $$ que está abierto. $\Box$

Note : Este lema es muy estándar, y normalmente se puede utilizar implícitamente en las pruebas sin tener que demostrarlo. Lo siguiente es más que suficiente:

Desde $f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)$ preserva las uniones, basta con demostrar que $f^{-1}(U)$ es abierto para todos los conjuntos abiertos básicos $U$ .

Teorema Dejemos que $X,Y$ sean espacios topológicos, y sea $Y$ se ordenen de manera que la topología en $Y$ es la topología de orden. Sea $f,g\colon X\to Y$ sean mapas continuos. Entonces $h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ es continua.

Prueba. Por el lema anterior, basta con demostrar que $h^{-1}(U)$ es abierto para todos los conjuntos abiertos básicos $U$ . Hay dos casos:

Caso 1: $U=(a,\infty)$ para algunos $a\in Y$ . Afirmo que $h^{-1}(U)=f^{-1}(U)\cup g^{-1}(U)$ . De hecho: \begin{align} x\in h^{-1}(U) &\Leftrightarrow a<\max\{f(x),g(x)\}\\ &\Leftrightarrow a<f(x)\;\textbf{ or }\;a<g(x)\\ &\Leftrightarrow x\in f^{-1}(U)\cup g^{-1}(U) \end{align} Por lo tanto, $h^{-1}(U)$ está abierto.

Caso 2: $U=(-\infty,a)$ para algunos $a\in Y$ . Afirmo que $h^{-1}(U)=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(U)$ . De hecho:

\begin{align} x\in h^{-1}(U) &\Leftrightarrow \max\{f(x),g(x)\}<a\\ &\Leftrightarrow f(x)<a\;\textbf{ and }\;g(x)<a\\ &\Leftrightarrow x\in f^{-1}(U)\cap g^{-1}(U) \end{align} Por lo tanto, $h^{-1}(U)$ está abierto. $\Box$