Es relativamente fácil demostrar (ver más adelante) que si tenemos dos triángulos equiláteros de lado 1 en $\mathbb R^3$ , tal que su unión tiene un diámetro $1,$ entonces deben compartir un vértice. Me pregunto si tenemos un análogo de esto en dimensiones superiores. Para empezar $4$ dimensiones, la cuestión es si la siguiente afirmación es cierta:
Si dos tetraedros regulares de lado 1 se colocan en $\mathbb R^4$ para que el diámetro de su unión sea $1,$ entonces los tetraedros deben compartir un vértice.
(aquí "tetraedro" es el casco convexo de cuatro puntos con distancias iguales entre sí y el "diámetro" de un conjunto es la distancia máxima entre dos puntos del conjunto)
En general, uno se siente tentado a conjeturar:
Si dos personas regulares $(d-1)$ -de longitud de arista 1 viven en $\mathbb R^d$ para que su unión tenga diámetro $1,$ entonces deben compartir un vértice.
De hecho, creo que deben compartir al menos $d-2$ vértices, pero vamos a empezar con un solo vértice, probablemente ya contiene la esencia del problema.
Se puede pensar en algunas afirmaciones aún más generales (lo que ocurre con $m$ -simplemente y $n$ -simplex?), pero no se me ocurrió una conjetura razonable.
Es fácil construir un tetraedro y un triángulo en $\mathbb R^4$ (con condiciones similares) que no comparten un vértice. Aquí lo esbozo. Omito los cálculos sencillos, siéntete libre de comprobarlo por ti mismo. Tomemos un tetraedro $abcd$ en $\mathbb R^4$ y tomar los puntos medios $u$ et $v$ de los bordes $ab$ et $cd$ . Tenemos $|uv|=1/\sqrt2$ . Ampliar el segmento $uv$ en ambos lados por una longitud igual para obtener un segmento $xy$ de longitud $1.$
Entonces la mayor distancia de $x$ et $y$ a un vértice del tetraedro es $\sqrt{\frac58+\frac{1}{2\sqrt2}}$ (por ejemplo, la ley del coseno). Que el origen coincida con el centro del tetraedro y que el tetraedro esté en $\{x_4=0\}$ . Traducir los puntos $x$ et $y$ por vector $(0,0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{5/8})$ para conseguir puntos $p$ et $q$ y que $r=(0,0,0,-\sqrt{5/8})$ . Ahora $pqr$ es un triángulo equilátero de lado 1 y todas las distancias entre los puntos $p,q,r,a,b,c,d$ son a lo sumo 1 (algunos de ellos son trivialmente a lo sumo $1,$ mientras que para los demás utilizamos el teorema de Pitágoras).
Ahora permítanme esbozar la prueba de la afirmación para $d=3$ . Basta con demostrar que no se puede tener un triángulo y un segmento unitario que esté en un lado del plano del triángulo (sin aumentar el diámetro). Supongamos que esto es posible. Primero traslada el segmento por un vector ortogonal al plano hasta que uno de los extremos entre en el plano (el diámetro no ha aumentado). Ahora gira el segmento alrededor del punto final que está en el plano, de forma que el otro punto final también caiga en el plano (y que el diámetro no aumente). Ahora estamos en un $2$ -y es fácil demostrar que el segmento y el triángulo deben compartir un vértice.
Un enfoque menos elemental es aplicar simplemente el llamado teorema de Dolnikov: dos ciclos Impares cualesquiera en un gráfico de diámetros en $\mathbb R^3$ deben compartir un vértice, pero eso es una exageración.
