Implementar manualmente las predicciones VAR

Question

He entrenado un modelo VAR mediante statsmodels en Python, y estoy tratando de implementar la predicción de un paso adelante manualmente sin usar el paquete.

Basado en statsmodels aquí, definen un proceso VARMAX como: $$y_t = A(t) + A_1 y_{t-1} + \dots + A_p y_{t-p} + B x_t + \epsilon_t + M_1 \epsilon_{t-1} + \dots M_q \epsilon_{t-q}$$

En mi caso no tengo variables exógenas ni los términos MA por lo que el modelo debería simplificarse a un modelo VAR: $$y_t = A(t) + A_1 y_{t-1} + \dots + A_p y_{t-p} + \epsilon_t$$

Mi esquema de implementación en Python para la predicción es el siguiente para un modelo VAR(3) de ejemplo:

values = []
for i in range(5000):
    y_t = intercept + np.matmul(A_1, lag_1) + np.matmul(A_2, lag_2) + np.matmul(A_3, lag_3) + np.random.multivariate_normal([0, 0], covariance_matrix).reshape(-1, 1)
    values.append(y_t)

donde intercept et $y_t$ son $k \times 1$ vectores, $A_1, A_2, A_3$ son matrices de parámetros, y $lag_1, lag_2, lag_3$ son vectores de $i$ -a los valores anteriores. Ejecuto la ecuación 5000 veces, ya que muestro de la distribución normal multivariada y tomo la media de $y_t$ para la predicción de un paso adelante. Tomo todos los parámetros del modelo entrenado.

Mis estimaciones aquí se acercan a la predicción de un paso adelante statsmodels da pero no son iguales, así que algo no estoy haciendo bien. Se agradecen los consejos.

Answer 1

Las predicciones VAR se calculan como una expectativa condicional, por ejemplo

$$E[y_{t+h}|y_t, y_{t-1}, \dots] = A(t) + A_1 y_t + \dots + A_p y_{t-p+1}$$

El término de error $\epsilon_t$ no entra en la predicción porque se define de manera que $E[\epsilon_{t+h}|y_t, y_{t-1}, \dots] = 0$ .

Incluso con 5000 muestras, su media muestral $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{5000} e_t$ generalmente no será exactamente igual a cero, por lo que su predicción diferirá ligeramente de la producida por statsmodels.