¿Por qué el forzamiento parece ser tan vacuo?
Parece que sólo estás invirtiendo la contención del subconjunto del modelo de ZFC + CH para que sea al revés en el poset. Entonces, ¿por qué es esto válido? ¿Por qué se permite simplemente poner el conjunto vacío en la parte superior del orden parcial*?
*Acabo de empezar a aprender teoría de conjuntos así que sólo he visto un ejemplo de forzamiento y era el forzamiento del conjunto de los reales para que fuera igual al segundo cardinal incontable.
El conjunto vacío $\emptyset$ es la condición de forzamiento que tiene la menor cantidad de información sobre el objeto genérico que se está construyendo.
Como es el que menos información tiene, se podría pensar que debería estar al final del orden parcial. Hay dos respuestas a esto:
(1) Matemáticamente, somos libres de definir nuestro orden parcial como queramos, aunque confunda al lector.
(2) En este caso, no hay intención de confundir al lector. Al tener el menos información, la condición $\emptyset$ también deja el mayor cantidad de posibilidades aún abiertas. Por tanto, es realmente una decisión al 50% la forma en que se debe definir. (Puede que otros conozcan la historia de esta convención en particular).
Una cuestión de convención similar es si el grado de Turing de los conjuntos computables, $\mathbf 0$ es el menor o el mayor grado de Turing. Convencionalmente se habla de los grados de insolubilidad y así $\mathbf 0$ es el más pequeño, pero si la convención fuera grados de solvencia sería lo más grande. Dado que ninguno de los otros grados es muy solucionable en absoluto, la convención actual es quizás la mejor en este caso.
Bjorn ya ha mencionado un punto importante: Podemos definir un orden parcial de la manera que queramos. También hay que mencionar que Cohen definió el orden en la otra dirección: Consideró la condición de vacío como la más pequeña y definió todo lo demás en consecuencia (es decir, al revés). Shelah, por ejemplo, sigue utilizando la versión original de Cohen del forzamiento.
Considerando $\emptyset$ la mayor condición en este contexto particular de forzamiento coincide con el orden habitual en las álgebras booleanas de la siguiente manera:
Al forzar con álgebras booleanas, los elementos del álgebra booleana corresponden a los valores de verdad de las sentencias. Si una frase implica a otra, el valor de verdad de la primera frase es menor o igual que el valor de verdad de la segunda. La condición vacía en el forzamiento de Cohen es el valor de verdad de todas las sentencias que son verdaderas en cada extensión de forzamiento por forzamiento de Cohen. Este es el mayor valor de verdad posible en este contexto. (Esto no debe confundirse con el hecho de que $\emptyset$ es el elemento más pequeño del álgebra booleana $\mathcal P(\omega)$ . El álgebra de Boole correspondiente al forzamiento de Cohen es muy diferente de $\mathcal P(\omega)$ .) Esta interpretación de la dirección de la orden concuerda con la explicación de Bjorn diciendo que $\emptyset$ deja abierta la mayor cantidad de posibilidades.
De todos modos. Toda la discusión anterior es un poco innecesaria, ya que su problema está en realidad en un nivel diferente: El orden parcial del que hablamos es sólo una herramienta técnica para construir una extensión forzada. Tiene poco que ver con la relación de contención de los subconjuntos de $\mathbb N$ . De hecho, la relación de contención entre subconjuntos es la misma en el modelo básico (el que satisface CH) y en la extensión genérica. Es decir, si $a,b\subseteq\mathbb N$ están ambos en el modelo de tierra, entonces $a\subseteq b$ es válida en la extensión si es válida en el modelo básico. En la extensión sólo tenemos muchos más subconjuntos de $\mathbb N$ .
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