La ecuación funcional $f(f(x))=x+f(x)^2$

Question

Me gustaría recabar información y referencias sobre la siguiente ecuación funcional para series de potencia $$f(f(x))=x+f(x)^2,$$$$ f(x)=\Nsuma_{k=1}^\Ninfty c_k x^k$$

(así $c_0=0$ se impone).

Las primeras cosas que se pueden establecer rápidamente:

• tiene una solución única en $\mathbb{R}[[x]]$ ya que los coeficientes se determinan recursivamente;
• su inversa formal es $f^{-1}(x)=-f(-x)$ ya que ambos resuelven de forma única la misma ecuación funcional;
• ya que la ecuación se puede reescribir $f(x)=f^{-1}(x)+x^2$ también se deduce que $f(x)+f(-x)=x^2$ la parte par de $f$ es sólo $x^2/2$ y $c_2$ es el único coeficiente no nulo de grado par;
• a partir de la fórmula recursiva de los coeficientes, parecen ser múltiplos enteros de potencias negativas de $2$ (véase más abajo la fórmula recursiva). Rmk. Parece (pero no he intentado demostrarlo) que $2^{k-1}c_k$ es un número entero para todo $k$ y que $(-1)^k c_{2k-1} > 0$ para todos $k\geq 2$ .

Pregunta : cómo ver de forma rápida que esta serie tiene un radio de convergencia positivo de convergencia, y posiblemente calcularla o evaluarla?

[actualizado] Una pregunta más razonable, tras los resultados numéricos y los diversos comentarios, parece ser, más bien: cómo demostrar que esta serie hace no convergen.

Nótese que el radio de convergencia tiene que ser finito, de lo contrario $f$ sería un automorfismo de $\mathbb{C}$ . Sí, por supuesto que evalué los primeros coeficientes y los puse en OEIS, obteniendo la secuencia de numeradores A107700 ; desgraciadamente, no tiene más información.

Motivación. Quiero entender un sistema dinámico discreto simple en $\mathbb{R}^2$ , es decir, el difeomorfismo $\phi: (x,y)\mapsto (y, x+y^2)$ que tiene un único punto fijo en el origen. No es difícil demostrar que la variedad estable y la variedad inestable de $\phi$ son $$W^s(\phi)=\mathrm{graph}\big( g_{|(-\infty,\ 0]}\big)$$ $$W^u(\phi)=\mathrm{graph}\big( g_{|[0, \ +\infty)}\big)$$

para una determinada función continua y estrictamente creciente $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que resuelve la ecuación funcional anterior. Por tanto, saber que la solución de la serie de potencias tiene un radio de convergencia positivo implica inmediatamente que coincide localmente con $g$ (de hecho, si $f$ converge tenemos $f(x)=x+x^2/2+o(x^2)$ en $x=0$ por lo que su gráfico en $x\le0$ se incluye en $W^s$ y su gráfico en $x\ge0$ se incluye en $W^u$ por lo que todo el gráfico de $f$ se incluiría en el gráfico de $g$ lo que implica que $f$ coincide localmente con $g$ ). Si este es el caso, $g$ es entonces analítica en todas partes, para iterados adecuados de $\phi$ dan un difeomorfismo analítico de cualquier porción grande del gráfico de $g$ con una pequeña porción cerca del origen.

También se puede argumentar lo contrario, mostrando directamente que $g$ es analítica, lo que implicaría la convergencia de $f$ . Aunque parece factible, este último argumento se vería de una manera un poco indirecta, y en ese caso me gustaría asegurarme de que no hay una manera directa fácil de trabajar en los coeficientes (por supuesto, puede ocurrir que $g$ no es analítico y $f$ no es convergente).

Detalles : igualando los coeficientes en ambos lados de la ecuación para $f$ uno tiene, para el 2-Jet $$c_1^2x+(c_1c_2+c_2c_1^2)x^2 =x + c_1^2x^2,$$ de donde $c_1=1$ et $c_2=\frac 1 2;$ y para $n>2$ $$2c_n=\sum_{1\le j\le n-1}c_jc_{n-j}\,-\sum_{1 < r < n \atop \|k\|_1=n}c_rc_{k_1}\dots c_{k_r}.$$

Más detalles : ya que puede ser de interés, permítanme añadir el argumento para ver $W^s(\phi)$ y $W^u(\phi)$ como gráficos.

Desde $\phi$ es conjugado con $\phi^{-1}=J\phi J $ por el involución lineal $J:(x,y)\mapsto (-y,-x)$ tenemos $W^u(\phi):=W^s(\phi^{-1})=J\ W^s(\phi)$ y basta con estudiar $\Gamma:=W^s(\phi)$ . Para cualquier $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tenemos $\phi^n(a,b)=(x_n,x_{n+1})$ con $x_0=a$ , $x_1=b$ , y $x_{n+1}=x_n^2+x_{n-1}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . A partir de esto es fácil ver que $x_{2n}$ et $x_{2n+1}$ son ambos crecientes; además, $x_{2n}$ está acotado por encima si $x_{2n+1}$ está acotado por encima, si $x_{2n}$ converge, si $x_n\to 0$ si $x_n\le 0 $ para todos $n\in\mathbb{N}$ .

En consecuencia $(a,b)\in \Gamma$ si $\phi^n(a,b)\in Q:=(-\infty,0]\times(-\infty,0]$ De ahí que $ \Gamma=\cap_{ n\in\mathbb{N}} \phi^{-n}(Q)$ . Este último es una intersección anidada de conjuntos cerrados no limitados conectados que contiene el origen, por lo que es $\Gamma$ también.

En particular, para cualquier $a\leq 0$ existe al menos un $b\leq 0$ tal que $(a,b)\in \Gamma$ para demostrar que $b$ es único, es decir, que $\Gamma$ es un gráfico sobre $(\infty,0]$ El argumento es el siguiente. Considere la función $V:\Gamma\times\Gamma\to\mathbb{R}$ tal que $V(p,p'):=(a-a')(b-b')$ para todos $p:=(a,b)$ et $p':=(a',b')$ en $\Gamma$ .

Demostrando que $\Gamma$ es el gráfico de un función estrictamente creciente equivale a demostrar que $V(p,p')>0$ para todo par de puntos distintos $p\neq p'$ en $\Gamma$ .

Por cálculo directo tenemos $V\big(\phi(p),\phi(p')\big)\leq V(p,p')$ et $\big(\phi(p)-\phi(p')\big)^2\geq \|p-p'\|^2+2V(p,p')(b+b')$ . Ahora, si un par $(p,p')\in\Gamma\times\Gamma$ tiene $V(p,p')\le0$ entonces también por inducción $V\big(\phi^n(p),\phi^n(p')\big)\leq 0$ y $\big(\phi^n(p)-\phi^n(p')\big)^2\geq \|p-p'\|^2$ para todos $n$ Así que $p=p'$ ya que ambos $\phi^n(p)$ et $\phi^n(p')$ tienden a $0$ . Esto demuestra que $\Gamma$ es un gráfico de un función estrictamente creciente $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ : ya que está conectada, $g$ también es continua. Por supuesto, el hecho de que $\Gamma$ es $\phi$ -implica que $g$ resuelve la ecuación funcional.

Answer 1

Después de haber reflexionado un poco más sobre esta cuestión, incluso haciendo algunos gráficos de las trayectorias de los puntos bajo aplicaciones iteradas de $f$ (ver Las trayectorias circulares de Gottfried ), es posible idear una prueba numérica que debería mostrar que la expansión de la serie diverge (si es que lo hace). Que sea una prueba práctica o no depende de lo mucho que falle. Mi primer intento aproximado no fue concluyente, así que aún no he determinado la respuesta a esto.

Esta respuesta todavía necesita trabajar en los detalles, pero voy a publicar lo que tengo hasta ahora. Además, creo que gran parte de lo que tengo que decir ya es bien conocido. Como el hilo es ahora una wiki comunitaria y cualquiera puede editar este post, siéntete libre de añadir cualquier referencia o detalle adicional.

Las ideas principales son las siguientes, y deberían aplicarse de forma mucho más general a las funciones analíticas definidas cerca de un punto fijo mediante una fórmula iterativa, como $f(f(z))=\exp(z)-1$ en esta pregunta del modus operandi .

1. Hay dos regiones abiertas superpuestas que limitan el origen por la derecha y por la izquierda respectivamente, y cuya unión es una vecindad del origen (con el origen eliminado). La ecuación funcional $f(f(z))=z+f(z)^2$ con $f(z)=z+O(z^2)$ puede resolverse de forma única en cada una de estas regiones, en las que es una función analítica.
2. La solución $f$ en cada una de las regiones tiene la serie de potencias dada como expansión asintótica en cero. Además, es posible calcular explícitamente un límite para los términos de error en la expansión (truncada).
3. La ecuación funcional tiene una solución en una vecindad del origen (equivalentemente, la serie de potencias tiene un radio de convergencia positivo) si y sólo si las soluciones en las dos regiones coinciden en su superposición.

Una forma de verificar que $f$ no puede extenderse a una función analítica en una vecindad del origen sería evaluar con precisión las soluciones en los dos dominios mencionados en algún punto de su superposición, y ver si difieren. Otra forma, que podría ser más práctica, es utilizar la observación de que después del término de segundo orden, los únicos coeficientes no nulos en nuestra expansión de la serie son para los términos Impares, y los signos se alternan [Editar: no se ha demostrado que esto sea cierto y, en cualquier caso, doy una prueba de que esto implica un radio de convergencia cero más adelante]. En consecuencia, si lo evaluamos en un punto del eje imaginario, truncando después de un número finito de términos, seguimos obteniendo una cota inferior para $\vert f\vert$ . Si efectivamente diverge, entonces esto superará el límite superior que podemos calcular como se mencionó anteriormente, demostrando la divergencia. Mirando los primeros 34 términos de OEIS A107700 sin embargo, no fue concluyente.

Elija un punto $z_0$ cerca (y justo a la derecha) del origen. Utilizando la serie de potencias a bajo orden, aproximamos $z_1=f(z_0)$ . Entonces, la ecuación funcional puede utilizarse para calcular $z_n=f(z_{n-1})=z_{n-2}+z_{n-1}^2$ . Del mismo modo, eligiendo puntos justo a la izquierda del origen, podemos calcular buenas aproximaciones para los iterados de $f^{-1}$ . Haciendo esto para una selección de puntos iniciales se obtiene un gráfico como el siguiente.

Concentrándose en una pequeña región alrededor del origen, los iterados de $f$ dan trayectorias claramente definidas - el gráfico incluye una región de radio 0,26 en torno al origen (si es mucho más grande, las trayectorias empiezan a desviarse). Como puede verse, las trayectorias que salen del origen hacen una de estas dos cosas. O bien se desplazan hacia la derecha, curvándose hacia arriba o hacia abajo, hasta salir de la región. O bien, se doblan en un círculo y vuelven a entrar en el origen desde la izquierda. Los iterados de $f^{-1}$ saliendo del origen por la izquierda se comportan de forma similar, pero reflejados sobre el eje imaginario.

Esto no debería ser demasiado sorprendente, y es un comportamiento que muestra cualquier función analítica de la forma $f(z)=z+\lambda z^2+O(z^3)$ donde $\lambda > 0$ . Consideremos la aproximación de segundo orden por la función de Mobius $f(z)\approx g(z)\equiv z/(1-\lambda z)$ . Entonces, $g$ preserva los círculos centrados en el eje imaginario y que pasan por el origen, y moverá los puntos de estos círculos en sentido contrario a las agujas del reloj por encima del origen y en sentido de las agujas del reloj por debajo del origen. Una aproximación de segundo orden a $g$ debería comportarse de forma similar. En nuestro caso, tenemos $\lambda=1/2$ et $g$ en realidad está de acuerdo con $f$ a tercera por lo que no es de extrañar que obtengamos círculos de aspecto tan preciso (realizando un ejercicio similar con $f(z)=\exp(z)-1$ dio unos "círculos" de aspecto más desigual).

Una cosa que hay que destacar del gráfico anterior: los círculos de diámetro 0,25 por encima y por debajo del origen siguen estando muy bien definidos. Por lo tanto, si $f$ define una función analítica, entonces su radio de convergencia parece ser al menos 0,25, y $f(\pm0.25i)$ no es mucho mayor que 0,25 de magnitud. Me pregunto si la suma de unos cientos de términos de la serie de potencias (como la calculada por Gottfried) dará un número mayor. Si lo hace, entonces esta evidencia numérica apuntaría a $f$ no es analítica, y un cálculo más preciso debería hacerla rigurosa.

Para entender las trayectorias, quizá sea más fácil considerar la transformación de coordenadas $z\mapsto -1/z$ . De hecho, el establecimiento de $u(z)=-1/z$ , entonces la transformada de Mobius anterior satisface $g(u(z))=u(z+\lambda)$ . De forma más general, podemos calcular las trayectorias de salida y entrada al origen para una función $f(z)=z+\lambda z^2+O(z^3)$ como sigue $$ \begin{align} &u_1(z)=\lim_{n\to\infty}f^{n}(-1/(z-n\lambda)),\\\\ &u_2(z)=\lim_{n\to\infty}f^{-n}(-1/(z+n\lambda)). \end{align}\qquad\qquad{\rm(1)} $$ Entonces, $u_1$ et $u_2$ mapear las líneas paralelas al eje real en las trayectorias de $f$ et $f^{-1}$ respectivamente y, después de leer esta respuesta que deduzco que son inversos de Funciones de Abel . Podemos hacer algo similar para nuestra función, utilizando la fórmula iterativa en lugar de $f^{n}$ . Entonces, podemos definir $f_i$ según $f_i(z)=u_i(\lambda+u_i^{-1}(z))$ que serán funciones analíticas bien definidas sobre las trayectorias de $f$ (resp. $f^{-1}$ ) antes de que se alejen demasiado del origen (después de lo cual $u_i$ puede no ser uno a uno). Entonces $f_i$ satisfarán automáticamente la ecuación funcional, y darán una función analítica en una vecindad del origen si coinciden en la intersección de su dominio (que consiste en las trayectorias circulares que salen y vuelven a entrar en el origen).

[Tal vez añadir: Calcular los límites de error para $u_i$ y la expansión asintótica].

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Actualización: Si se calculan las trayectorias de mayor radio que las trazadas anteriormente, se obtiene lo siguiente.

Intersección de trayectorias http://i53.tinypic.com/2wml7x0.gif

Las trayectorias que salen del origen por la derecha y entran por la izquierda no coinciden entre sí y se cruzan. Esto es incompatible con la existencia de una función $f$ en una vecindad del origen resolviendo la ecuación funcional, ya que las dos soluciones $f_1,f_2$ definidas en las trayectorias que salen y entran respectivamente en el origen no coinciden. Y, si las soluciones $f_1,f_2$ no coinciden en las trayectorias mayores, entonces, por continuación analítica, no pueden coincidir cerca del origen. Por lo tanto, si se puede confirmar que este comportamiento es real (y no inexactitudes numéricas), entonces el radio de convergencia es cero.

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Actualización 2: En la pregunta original se señalaba que, para $n\ge3$ todos los coeficientes $c_n$ en la expansión en serie de la potencia de $f$ son nulas para los casos pares $n$ y que los coeficientes de grado impar son de signo alterno, por lo que $(-1)^kc_{2k-1}\ge0$ para $k\ge2$ . Esta última observación no ha sido demostrada, aunque Gottfried ha calculado al menos 128 coeficientes (y creo que esta observación sigue siendo válida para todos estos términos). Daré una prueba de lo siguiente: si los coeficientes de grado impar $c_n$ son de signo alterno para $n\ge3$ entonces el radio de convergencia es cero .

Para obtener una contradicción, supongamos un radio de convergencia positivo $\rho$ y que los coeficientes de grado impar son de signo alterno después del tercer término. Esto implicaría que $$ f(it)=-t^2/2 + it(1-t^2/4 - h(t^2))\qquad\qquad{\rm(2)} $$ donde $h$ tiene coeficientes no negativos, por lo que $h\ge0$ de verdad $t$ . También, $h(t)\to\infty$ como $t\to\rho_-$ . Para los pequeños $t$ , $f(it)=it + o(t)$ tiene parte imaginaria positiva por lo que, por continuidad, habrá alguna $0 < t_0 < \rho$ tal que $\Im[f(it_0)]=0$ . Elija $t_0$ mínimo. Si $\rho > 2$ entonces (2) da $\Im[f(2i)]\le2(1-2^2/4)=0$ así que, en cualquier caso, $t_0\le2$ . Entonces, para $0 \le t \le t_0$ la parte imaginaria de $f(it)$ está limitada por $t(1-t^2/4)$ y (2) da $$ \begin{align} \vert f(it)\vert^2 &\le t^4/4 + t^2(1-t^2/4)^2\\\\ &=t^2(1-t^2(4-t^2)/16)\\\\ &\le t^2 < \rho^2. \end{align} $$ Así que, $f(it)$ está dentro del radio de convergencia para $0 \le t \le t_0$ . Además, por construcción, la ecuación funcional $f(f(it))=it+f(it)^2$ se mantiene para $\vert t\vert$ pequeño. Entonces, por continuación analítica la ecuación funcional se mantiene en $0\le t \le t_0$ Así que.., $$ \Im[f(f(it_0))]=\Im[it_0+f(it_0)^2]=t_0\not=0. $$ Sin embargo, $f(it_0)$ y los coeficientes de la serie de potencias son todos reales, por lo que $f(f(it_0))$ es real, dando la contradicción.

Answer 2

He calculado los coeficientes de las potencias formales para $f(x)$ a $n=128$ condiciones. Como ya se mencionó en otras respuestas/comentarios, los coeficientes parecen formar una serie de potencias formales de radio de concierto cero; lo que equivale a que la tasa de crecimiento de los valores absolutos de los coeficientes es hipergeométrica.

Para tener una impresión visual de las características de la función he evaluado $f(x)$ para algunos $ 0 < x <2 $

Método 1 : Utilicé (una versión experimental de) la suma de Noerlund con la que pude estimar aproximaciones para ese intervalo de $ 0 < x < 2 $ .

Método 2, sólo para cotejar los resultados: Repetí la evaluación para ese rango de x usando la ecuación funcional.

He calculado el "intervalo primario" de $ x_0=0.1 \text{ to } 0.105\ldots -> y_0=0.105\ldots \text{ to } 0.111\ldots $ que define un intervalo unitario de altura de iteración en el que la suma de Noerlund parece converger muy bien (supongo que el error $<1e-28$ utilizando 128 términos de la serie de potencias). A continuación, la ecuación funcional permite ampliar ese intervalo a x superiores, dependiendo de si tenemos suficiente precisión en el cálculo del intervalo primario $ x_0 \text{ to } y_0 $ .

Resultado: ambos cálculos dieron resultados similares y significativos con una precisión de al menos 10 dígitos - pero todo esto requiere un análisis más riguroso después de que hayamos obtenido algunas probabilidades de que estamos en el camino correcto.

A continuación se muestra un gráfico de la función estimada $ f(x) $ para el intervalo $0 < x < 4.5 $ (el aumento del límite superior del intervalo se realizó mediante la ecuación funcional)

(fuente)

y aquí un gráfico que incluye la función inversa para ver la característica en términos de $ x^2 = f(x)-f^{o-1}(x) $ (fuente)

[actualización] A partir del segundo gráfico me parece interesante esta representación que se centra en los cuadrados. Sugiere tratar de usar integrales para encontrar las coordenadas necesarias para el posicionamiento de los cuadrados. ¿Tiene la secuencia de cuadrados verdes alguna representación directa que permita determinar las coordenadas independientemente de la recursión? La "partición" del gran cuadrado verde en los rojos alude a algo así como la proporción áurea...[fin de la actualización].

(fuente)

Answer 3

A continuación se muestra un gráfico de las trayectorias a partir de un par de valores iniciales en el plano complejo. Aquí calculé las coordenadas iniciales utilizando la serie de potencias (incluyendo la suma de Noerlund) y utilicé entonces la ecuación funcional para producir las trayectorias de los iterados.

(fuente)

[Actualización] He intentado encontrar más información sobre la desviación de las trayectorias de la forma circular. Parece que estas desviaciones son sistemáticas, aunque quizás pequeñas. Aquí hay un gráfico de las trayectorias de $ z_1= 0.2 î $ el centro del círculo perfecto se asumió en $ 0.1 î $ He modificado el valor de $z_0$ para el mejor ajuste (visualmente) de todos los $z_{k+1} = z_k^2+z_{k-1}$ y con algunos ejemplos parecía que, efectivamente, las soluciones powerseries son la mejor opción para $ z_0 $
Aquí está el gráfico de las trayectorias casi circulares en sentido positivo y negativo (sombreado en gris, pero difícil de reconocer el "círculo perfecto")

(fuente)

El siguiente gráfico muestra la desviación radial, sólo las diferencias de $ |z_k - center | - radius $ que está aquí $ dev(z_k) = | z_k - 0.1 î| - 0.1 $

(fuente)

El creciente bamboleo en los bordes izquierdo y derecho parece deberse a la acumulación de errores numéricos a lo largo de las iteraciones (he utilizado Excel para la optimización manual)

Nota: para los casos puramente imaginarios $z_1$ la suma de Noerlund para la serie de potencias no funciona porque obtenemos una serie divergente (de valores imaginarios) con signos no alternativos que comienza en algún índice pequeño. [fin de la actualización]

Answer 4

Nota: esto debería ir como respuesta al comentario de J.C.Ottern pero quiero mostrar datos y por tanto necesito la entrada para las respuestas a las preguntas originales.

Hola J.C. - Para lo siguiente he tomado cada segundo coeficiente. Para adaptar los signos, multiplico por potencias de $ î =\sqrt{-1} $ para obtener los coeficientes digamos $ d_k $ . A continuación, muestro los cocientes de las siguientes $d_k$ : $q_k = d_k/d_{k-1} = - c_{2k}/c_{2k-2}$

q_k
-1.00000000000
-0.250000000000
0.500000000000
1.62500000000
2.78846153846
4.01379310345
5.34621993127
...
< some 50 coefficients ignored >
...
350.224481320
362.230770820
374.439712641
386.851306244
399.465551130  // at k=62 
412.282446834  // at k=63

Para que el radio de convergencia sea >0, los coeficientes deben converger a un valor constante. Pero incluso las diferencias de los ratios aumentan:

-1.00000000000
 0.750000000000
 0.750000000000
1.12500000000
1.16346153846
1.22533156499
 ...
11.3983288747
11.6009830751
11.8036366001
12.0062894999
12.2089418203
12.4115936031
12.6142448861  // q_62-q_61
12.8168957040  // q_63-q_62
...

Si este comportamiento continúa, la serie de potencias generada debe tener un radio de convergencia cero.

[Actualización] Aquí están los primeros 24 términos de la serie de potencias para $f(x)$ tal y como los tengo. columna de la izquierda en formato flotante, columna del medio en formato racional más cancelado, columna de la derecha en formato racional normalizado (los numeradores se pueden encontrar en OEIS):

               0                    0                      .
   1.00000000000                    1                    1/2
  0.500000000000                  1/2                    1/4
  0.250000000000                  1/4                    1/8
               0                    0                      .
 -0.125000000000                 -1/8                  -2/32
               0                    0                      .
  0.203125000000                13/64                 13/128
               0                    0                      .
 -0.566406250000             -145/256               -145/512
               0                    0                      .
   2.27343750000              291/128              2328/2048
               0                    0                      .
  -12.1542968750            -6223/512            -49784/8192
               0                    0                      .
   82.9446411133        1358965/16384          1358965/32768
               0                    0                      .
  -703.072265625          -359973/512       -46076544/131072
               0                    0                      .
   7256.32673264    1902202515/262144      1902202515/524288
               0                    0                      .
  -89745.2179527  -23526170415/262144   -94104681660/2097152
               0                    0                      .
   1312224.19186    42998962319/32768  5503867176832/8388608

Answer 5

Esta respuesta debería ir como comentario en el análisis de George, pero tuve un error en los comentarios y además no pude formatearlos correctamente. Así que aquí va.

Forzar una simetría alrededor del eje imaginario significa introducir una definición independiente del ansatz por la serie de potencias formal. Tendremos que comprobar, si finalmente coinciden.

Supongamos un círculo de radio $c$ sobre el origen con centro en $0+c*î$
Entonces elegimos $z_0 = 2*c*î$ Sólo la parte superior del círculo.
Utilizando la ecuación funcional $z_1 = z_0^2+z_{-1} $ junto con la suposición de simetría y la suposición de que $z_1$ , $z_0$ , $z_{-1}$ están en la circunferencia del círculo podemos determinar de forma única todas las coordenadas necesarias y tenemos así un "germen" para la iteración. Lo que obtenemos es lo siguiente.

denotan $s= \sqrt{1-4*c^2} $

Entonces obtenemos

$ z_{-1} = 2 c^2 + i*c*(1+s) $
$ z_0=i*2*c $
$ z_1 = - 2 c^2+i*c*(1+s) $

y la lista de la trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj a través del segundo cuadrante

$ z_0 = i* 2*c $
$ z_1 = -2*c^2 + i*(s + 1)*c $
$ z_2 = 4*c^4 - (s+1)^2*c^2 + i*(-4*(s+1)*c^3 + 2*c) $
$ z_3 = 16*c^8 - 24*(s+1)^2*c^6 + (s^4 + 4*s^3 + 6*s^2 + 20*s + 17)*c^4 - 6*c^2 $
$ + i*((-32*s - 32)*c^7 + (8*s^3 + 24*s^2 + 24*s + 24)*c^5 + (-4*s^2 - 8*s - 4)*c^3 + (s + 1)*c) $
(La salida puede ser mucho más simplificada)

La trayectoria resultante se aproxima mucho a la calculada con la serie de potencias truncada. Es simétrica por construcción, pero deja la circunferencia del círculo ya en $z_2$

[Actualización] aquí hay una comparación de la "circularidad" de las trayectorias (como ya se calculó) utilizando la serie de potencias y la que utiliza el ansatz anterior con la suposición de una inicialización simétrica y circular alrededor del centro $(0,i*c)$

(fuente)

[fin de la actualización]