Estadísticas: Pregunta sobre la función generadora de momentos conjuntos

Question

Tengo otra pregunta sobre la función de generación de momentos. He subido la pregunta como un enlace.

Pregunta conjunta generadora de momentos: https://i.stack.imgur.com/lQ0zb.png

Mi solución: No estoy seguro de cómo enfocar esto

También otra aclaración. Si la correlación entre las variables aleatorias X e Y es cero, ¿son X e Y independientes? Sé que si la Covarianza(X,Y) = 0, se dice que X e Y no están correlacionadas. ¿Pero qué pasa con la correlación?

¡¡Muchas gracias por vuestra ayuda chicos!! Se agradece mucho =)

Answer 1

\begin{align} M_{bX_1,\ldots,bX_n} (t_1,\ldots,t_n) & = \operatorname{E}(e^{t_1(bX_1)\,+\,\cdots \,+\,t_n (bX_n)}) \\ & = \operatorname{E}(e^{(bt_1)X_1 \,+\,\cdots\,+\,(bt_n)X_n}) = M_{X_1,\ldots,X_n} (bt_1,\ldots,bt_n) \end{align}