Dejemos que $U$ sea una variable aleatoria con media $0$ . Tome otras dos variables aleatorias $X,Y$ . Supongamos que $$ (1)\quad E(U|X,Y)=0. $$ Creo que (1) implica $$ E(U\cdot X)=E(U \cdot Y)=0. $$ ¿Implica (1) $$ E(U \cdot f(X,Y))=0\quad ? $$ donde $f$ es cualquier función de $X,Y$ ? Por ejemplo, ¿implica (1) $$ E(U \cdot X \cdot Y)=0 $$
Respuesta
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Sí.
Si $\mathcal A$ denota una $\sigma$ -y el álgebra $Z$ es una variable aleatoria que es $\mathcal A$ - medible entonces: $$\mathbb E[UZ]=\mathbb E[\mathbb E[U|\mathcal A]Z]$$ Así que si $\mathbb E[U|\mathcal A]=0$ entonces se deduce directamente que también $\mathbb E[UZ]=0$ .
Puede aplicarlo aquí en el $\sigma$ -que es generada por las variables aleatorias $X$ et $Y$ y se denota en la mayoría de los casos como $\sigma(X,Y)$ .
Tenga en cuenta que $\mathbb E[U|X,Y]$ es en realidad una notación para $\mathbb E[U|\sigma(X,Y)]$ .
Entonces, para los medibles de Borel $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ encontramos de hecho: $$\mathbb E[Uf(X,Y)]=0$$
Usted afirma que el condición que $U$ tiene media cero, pero eso es un consecuencia de su declaración $(1)$ .
Esto porque: $$\mathbb EU=\mathbb E[\mathbb E[U|X,Y]]$$ donde el RHS toma el valor $0$ como consecuencia de la declaración $(1)$ .
