¿Explicación intuitiva de la densidad de la variable transformada?

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria con pdf $f_X(x)$ . Entonces la variable aleatoria $Y=X^2$ tiene el pdf

$$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$$

Entiendo el cálculo que hay detrás de esto. Pero estoy tratando de pensar en una manera de explicarlo a alguien que no sabe de cálculo. En particular, estoy tratando de explicar por qué el factor $\frac{1}{\sqrt{y}}$ aparece en el frente. Lo intentaré:

Supongamos que $X$ tiene una distribución gaussiana. Casi todo el peso de su pdf está entre los valores, digamos, $-3$ y $3.$ Pero eso se asigna a 0 a 9 para $Y$ . Por lo tanto, el peso en el pdf para $X$ se ha ampliado a una gama más amplia de valores en la transformación a $Y$ . Así, para $f_Y(y)$ para que sea un verdadero pdf el peso extra debe ser rebajado por el factor multiplicativo $\frac{1}{\sqrt{y}}$

¿Qué te parece?

Si alguien puede dar una mejor explicación propia o enlazar a una en un documento o libro de texto se lo agradecería mucho. Encuentro este ejemplo de transformación de variables en varios libros de introducción a la probabilidad matemática/estadística. Pero nunca encuentro una explicación intuitiva con él :(

Answer 1

Las PDF son alturas, pero se utilizan para representar la probabilidad mediante el área. Por lo tanto, ayuda a expresar un PDF de forma que nos recuerde que el área es igual a la altura por la base.

Inicialmente la altura en cualquier valor $x$ viene dada por la PDF $f_X(x)$ . La base es el segmento infinitesimal $dx$ De ahí que el distribución (es decir, la medida de la probabilidad en contraposición a la función de distribución ) es realmente la forma diferencial o "elemento de probabilidad"

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$$

Este, más que el PDF, es el objeto con el que se quiere trabajar tanto conceptual como prácticamente, porque incluye explícitamente todo los elementos necesarios para expresar una probabilidad.

Cuando reexpresamos $x$ en términos de $y = x^2$ los segmentos de base $dx$ se estira (o aprieta): elevando al cuadrado ambos extremos del intervalo de $x$ a $x + dx$ vemos que la base del $y$ debe ser un intervalo de longitud

$$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$$

Como el producto de dos infinitesimales es despreciable comparado con los propios infinitesimales, concluimos

$$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$$

Una vez establecido esto, el cálculo es trivial porque sólo tenemos que introducir la nueva altura y la nueva anchura:

$$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$$

Porque la base, en términos de $y$ es $dy$ lo que lo multiplica debe ser la altura, que podemos leer directamente del término medio como

$$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$$

Esta ecuación $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$ es efectivamente un ley de conservación del área (=probabilidad).

Este gráfico muestra con precisión trozos estrechos (casi infinitesimales) de dos PDFs relacionados por $y=x^2$ . Las probabilidades están representadas por las áreas sombreadas. Debido a la compresión del intervalo $[0.32, 0.45]$ mediante la cuadratura, la altura de la región roja ( $y$ a la izquierda) tiene que ampliarse proporcionalmente para que coincida con el área de la región azul ( $x$ a la derecha).

Answer 2

¿Qué tal si fabrico objetos que son siempre cuadrado y conozco la distribución de las longitudes de los lados de los cuadrados; ¿qué puedo decir de la distribución de las áreas de los cuadrados?

En particular, si conozco la distribución de una variable aleatoria $X$ ¿Qué puedo decir sobre $Y = X^{2}$ ? Una cosa que se puede decir es

$$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$$

Así, se establece una relación entre la FCD de $Y$ y la FCD de $X$ ¿Cuál es la relación entre sus PDFs? Para ello necesitamos el cálculo. Tomando las derivadas de ambos lados te da los resultados que querías.