Estoy trabajando en una solución numérica de la ecuación del calor en el cuadrado unitario $[0,1] \times [0,1]$ :
\begin{align*} \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T, \quad T(x,y,0) = 0, \quad \text{B.C.}\begin{cases} T(0,y,t) = T(x,0,t) = 0 \\ T(x,1,t) = 100 \\ \frac{\partial{T}}{\partial x}(1,y,t) = 0 \end{cases} \end{align*}
Es decir, la temperatura se mantiene a cero en los lados izquierdo e inferior del cuadrado, a 100 grados en el superior, y se aísla en el derecho.
Quiero encontrar la solución analítica para poder comparar los resultados de mi cálculo numérico. Pensé en intentar una solución por separación de variables, sin embargo rápidamente me encontré con problemas al intentar formular un problema relacionado con condiciones de contorno homogéneas. En los casos 1D de la mayoría de mis libros de texto y apuntes antiguos, esto se haría encontrando una función $\psi$ tal que $U = T-\psi$ es un problema similar pero con un C.B. homogéneo. Mis intentos de encontrar dicha función en este caso fracasaron rápidamente debido a la discontinuidad en $(0,1)$ . ¿Es posible resolver este problema mediante la separación de variables y, en caso afirmativo, cómo se superaría esta dificultad concreta?