Resolución de la ecuación del calor en 2D con C.B. no homogénea por separación de variables

Question

Estoy trabajando en una solución numérica de la ecuación del calor en el cuadrado unitario $[0,1] \times [0,1]$ :

\begin{align*} \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T, \quad T(x,y,0) = 0, \quad \text{B.C.}\begin{cases} T(0,y,t) = T(x,0,t) = 0 \\ T(x,1,t) = 100 \\ \frac{\partial{T}}{\partial x}(1,y,t) = 0 \end{cases} \end{align*}

Es decir, la temperatura se mantiene a cero en los lados izquierdo e inferior del cuadrado, a 100 grados en el superior, y se aísla en el derecho.

Quiero encontrar la solución analítica para poder comparar los resultados de mi cálculo numérico. Pensé en intentar una solución por separación de variables, sin embargo rápidamente me encontré con problemas al intentar formular un problema relacionado con condiciones de contorno homogéneas. En los casos 1D de la mayoría de mis libros de texto y apuntes antiguos, esto se haría encontrando una función $\psi$ tal que $U = T-\psi$ es un problema similar pero con un C.B. homogéneo. Mis intentos de encontrar dicha función en este caso fracasaron rápidamente debido a la discontinuidad en $(0,1)$ . ¿Es posible resolver este problema mediante la separación de variables y, en caso afirmativo, cómo se superaría esta dificultad concreta?

Answer 1

Si se resuelve la ecuación de Laplace $$ \nabla^{2}u=0,\\ u(0,y)=0,\;\;\; u_{x}(1,y)=0,\\ u(x,0)=0,\;\;\; u(x,1) = 100, $$ entonces $v=T-u$ satisfará $$ v_{t}=\alpha \nabla^{2}v,\\ v(t,0,y)=0,\;\; v_{x}(t,1,y)=0,\\ v(t,x,0)=0,\;\; v(t,x,1)=0,\\ v(0,x,y)=-u(x,y). $$ La solución de la ecuación de Laplace puede escribirse como $$ u(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\sin(\lambda_n x)\sinh(\lambda_n y) $$ donde $\lambda_n$ se elige de manera que $u_{x}(1,y)=0$ es decir $\cos(\lambda_n)=0$ es decir $$ \lambda_n = \frac{\pi}{2}+n\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2}. $$ Las constantes $A_n$ se eligen de manera que $$ u(x,1)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\sin((n+1/2)\pi x)\sinh((n+1/2)\pi) = 100. $$ Utilizando la ortogonalidad de las funciones $\sin((n+1/2)\pi x)$ en $[0,1]$ da $$ A_n =\frac{100}{\sinh((n+1/2)\pi)}\frac{\int_{0}^{1}\sin((n+1/2)\pi x)dx}{\int_{0}^{1}\sin^{2}((n+1/2)x)dx} $$ Deberías ser capaz de resolver $v$ porque es una solución de la ecuación del calor estándar con condiciones de contorno homogéneas, y entonces dejemos que $T=v+u$ . Hay problemas obvios de convergencia de $u$ en las esquinas de la región, pero en ningún otro lugar.