Es el conjunto donde $\mathrm{dist}(x,\{1,1/2,1/3,\ldots\})$ no es diferenciable un conjunto cerrado?

Question

Supongamos que $ A=\{1,1/2,1/3,...\}$ y $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)=\inf \{|y-x|;y \in A\}$ . Sea $K$ sea el conjunto de puntos donde $f$ no es diferenciable. Es $K$ ¿Cerrado? ¿Puede $K$ ¿se puede especificar?

Answer 1

SUGERENCIA: Dibuja la gráfica de $f$ . Verás que está formada por (infinitos) segmentos de línea recta, y que la parte de la misma entre $0$ y $1$ zigzaguea hacia arriba y hacia abajo, con esquinas afiladas en ciertos puntos. Esos puntos donde tiene esquinas son lugares donde $f$ no es diferenciable.

Una vez que hayas visto lo que sucede en un sketch, no debería ser demasiado difícil decir exactamente lo que el conjunto $K$ es.