Pregunta objetiva álgebra lineal CSIR -2017

Question

Dejemos que $A$ ser un $m\times n$ matriz real de de rango $m$ tal que $m<n $ . Si para algún número real no nulo $\alpha $ tenemos $$ x^{t} A^{t} Ax = \alpha x^{t}x $$ para todos $x\in \mathbb{R}^n$ entonces $A^{t} A$ tiene

1. Exactamente dos valores propios distintos.

2. $0$ como un valor propio de multiplicidad $n-m$ .

3. $\alpha $ es un valor propio no nulo.

4. Exactamente dos valores propios distintos de cero.

Según yo como $A^{t}A $ es simétrica y por lo tanto diagonalizable y su rango es el mismo que el del número de valores propios no nulos. Así que sólo sé que la segunda opción es correcta. Por favor, sugiérame. Gracias.

Answer 1

Desde $A^tA$ es simétrica, sólo tiene valores propios reales y los vectores propios forman una base propia. Sea $\lambda$ sea un valor propio de $A^tA$ con el correspondiente vector propio $v$ . Entonces sabes que $$ v^tA^tAv=v^t(\lambda v)=\lambda v^tv=\alpha v^tv. $$ Desde $v$ es un vector no nulo, esto implica que $\|v\|\not=0$ y como la propiedad dada se aplica a todos los vectores en $\mathbb{R}^n$ , $$ \lambda \|v\|^2=\alpha\|v\|^2. $$ Por lo tanto, $\lambda=\alpha$ . Desde $\lambda$ era un valor propio arbitrario, esto elimina todas las opciones excepto $3$ .

Por otra parte, dado que $A$ es $m\times n$ , $A^tA$ es un $n\times n$ matriz de rango máximo $m$ . Por lo tanto, $A^tA$ tiene un rango máximo de $m$ y por lo tanto debe tener al menos $n-m$ $0$ valores propios. Esto es una contradicción, por lo que parece que ninguna de las opciones es correcta.