Un homomorfismo bien definido de $\mathbb{Z}/48\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}/{36}$

Question

Leí el libro de Dummit y Foot álgebra abstracta. Necesito ayuda con la siguiente pregunta.

Dejemos que $\mathbb{Z}/{36} = <x>.$ Para qué enteros $a$ hace el mapa $\psi_{a}$ definido por $\psi_{a}: \bar{1} \mapsto x^a$ ampliar a un homomorfismo bien definido de $\mathbb{Z}/48\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ Puede $\psi_{a}$ sea alguna vez un suryecto homomorfismo?

Aquí hay algunos intentos.

Dejemos que $n+m<48.$ Tenemos $$\psi_a (\bar{n}+\bar{m})=x^{a(n+m) \mod 36}.$$ Por otro lado $$\psi_a (\bar{n})\psi_a (\bar{m})=x^{an\mod 36}x^{am\mod 36}=x^{an\mod 36+am\mod 36}.$$ Supongamos que $\psi_{a}$ es un suryecto. Entonces para todo $x^i, i=0\ldots 35$ hay $\bar(j), j=0\ldots48.$ tal que $\psi_a (\bar{j})=x^i.$ Para qué valores a???

Este es mi intento hasta ahora.

Answer 1

Ver que $[1]$ es un generador de $\mathbb Z_{48}$ por lo que $\phi([1])=x^a$ debe ser un generador de $\mathbb Z_{36}$ que es verdadera si $\gcd(a,36)=1$

Ahora encuentre los posibles valores de $a$

Por el Teorema del Isomorfismo;

$\dfrac{\mathbb Z_{48}}{ker f}\cong Im f$

Para la onto debemos tener o(Im f)=36; ¿es posible?

Answer 2

Estoy utilizando los grupos aditivos $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}$ tanto para el dominio como para el rango.

Primero suponga $\psi_a$ es un homomorfismo bien definido. Tenemos $\psi_a([1]_{48}]) = [a]_{36}$ y si $\psi_a$ es un homomorfismo entonces $\psi_a([n]_{48}]) = [an]_{36}$ y así $\psi_a([48]_{48}]) = [0]_{36} = [48a]_{36}$ de la que obtenemos $36 \mid 48a$ . Este da $3 \mid 4a$ y por lo tanto $3 \mid a$ .

Supongamos ahora que $3 \mid a$ entonces primero tenemos que comprobar que $\psi_a$ está bien definida en el sentido de que si $[x]_{48}=[y]_{48}$ entonces $\psi_a([x]_{48})=[ax]_{36} = \psi_a([y]_{48})=[ay]_{36}$ , o de forma equivalente, $[a(x-y)]_{36}=[0]_{36}$ . Desde $x-y = 48 k$ para algunos $k$ vemos que $48 ak = 12 \cdot 4 \cdot a k = 4 \cdot 12 \cdot 3 \cdot {a \over 3} k = 36 \cdot 4 \cdot {a \over 3} k$ y así $[a(x-y)]_{36}=[0]_{36}$ .

Entonces, como $\psi_a([n+m]_{48}]) = [a(n+m)]_{36} = [an]_{36} + [am]_{36} = \psi_a([n]_{48}]) + \psi_a([m]_{48}])$ vemos que $\psi_a$ es un homomorfismo.

Tenga en cuenta que $\operatorname{im} \phi_a = < [a]_{36}>$ y la Proposición 5 (2) de Dummit & Foote muestra que $|\operatorname{im} \phi_a| = {36 \over \gcd(a, 36)} $ . Desde $3 \mid a$ vemos que que $\gcd(a, 36) \ge 3$ y así $|\operatorname{im} \phi_a| \le 12$ y así $\psi_a$ no puede ser sobreyectiva.