Encontrar el volumen de la esfera $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ contenida en $z \geq 0$ , $y \leq x$ y $y \geq 0$

Question

Me hacen la siguiente pregunta:

Hallar el volumen de la esfera $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ contenida en $z \geq 0$ , $y \leq x$ y $y \geq 0$

Lo que deduzco de la información presentada es:

$$ \begin{align*} z \geq 0 &\Rightarrow 0 \leq \phi \leq \pi/2\\ y \geq 0 \text{ and } y \leq x &\Rightarrow 0 \leq \theta \leq \pi/4\\ x^2+y^2+z^2 \leq a^2 &\Rightarrow 0 \leq \rho \leq a \end{align*} $$

¿Es eso correcto? ¿Debo evaluar lo siguiente?

$$ \begin{align*} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{a} \rho^2 \sin(\phi) \ d\rho d\phi d\theta \end{align*} $$

Gracias.

Answer 1

Desde un punto de vista puramente geométrico, ¿está claro que debería conseguir una $\;16\,-$ del volumen total de la esfera?:

$$\int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{a} \rho^2 \sin(\phi) \ d\rho d\phi d\theta=\frac\pi4\int_0^{\pi/2}\sin\phi\left.\frac13\rho^3\right|_0^a=$$

$$=\left.\frac{a^3\pi}{12}(-\cos\phi)\right|_0^{\pi/2}=\frac{a^3\pi}{12}=\frac1{16}\cdot\color{red}{\frac43a^3\pi}$$

como se esperaba.