$\mathbb{Q}(\sqrt\alpha) \cong \mathbb{Q}(\sqrt\beta)$ como espacios vectoriales

Question

Esta pregunta surgió en el siguiente enlace. Como no es de buena etiqueta utilizar la pregunta de otra persona para hacer una pregunta, he creado una nueva pregunta. Estoy tratando de construir un isomorfismo lineal entre las dos estructuras $\mathbb{Q}(\sqrt\alpha$ ) y $ \mathbb{Q}(\sqrt\beta)$ :

Sería:

$T: = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt\beta/\sqrt\alpha \end{pmatrix} $

La otra pregunta que surgió al pensar en este problema fue: ¿Las entradas dentro de la matriz deben pertenecer al campo de los escalares? Pienso que no.

Es $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ?

Answer 1

No, su mapa $T$ no es un mapa lineal sobre ${\mathbb Q}$ : todas sus entradas deben ser racionales. (Y si das un mapa lineal como matriz, debes indicar qué bases estás usando. En este caso $1, \sqrt{a}$ y $1, \sqrt{b}$ son candidatos obvios, pero es mejor ser explícito al respecto).

Lo que podrías hacer es elegir una base para cada uno de los dos espacios vectoriales (por ejemplo $1, \sqrt{\alpha}$ y $1, \sqrt{\beta}$ ) y utilizarlo para construir un mapa enviando un elemento base de la izquierda al elemento base correspondiente de la derecha (es decir $1 \mapsto 1$ , $\sqrt{\alpha} \mapsto \sqrt{\beta}$ o en su totalidad $x + y \sqrt{a} \mapsto x + y \sqrt{b}$ ). La matriz de este mapa, expresada en estas bases, es por supuesto la matriz de identidad.