¿Es cierto que si los grupos fundamentales de dos espacios son isomorfos, entonces sus primeros grupos de homología son isomorfos? Creo que la respuesta es sí;
Dejemos que $f:\pi_1(X)\to\pi_1(Y)$ sea un isomorfismo y $p:\pi_1(X)\to \pi_1(X)^*, q:\pi_1(Y)\to \pi_1(Y)^*$ sean los mapas cotizados, donde $\pi_1(X)^*, \pi_1(Y)^*$ son las abelianizaciones de los grupos fundamentales. Necesito demostrar que $p\circ f$ y $q\circ f^{-1}$ son isomorfismos. Pero no sé cómo hacerlo.
Desde $H_1(X)$ es isomorfo a la abelianización de $π_1(X)$ para $X$ Los grupos conectados por trayectorias e isomorfos tienen abelinizaciones isomorfas, la respuesta positiva a su pregunta es la siguiente.
La abelinización es un functor de grupos a grupos abelianos. Sea $Ab(G)$ significa la abelinización de $G$ y que $π_G: G \to Ab(G)$ sea la proyección canónica. Entonces para cualquier homomorfismo de grupo $f: G \to H$ existe un único homomorfismo $Ab(f): Ab(G) \to Ab(H)$ tal que $Ab(f) π_G = π_H f$ (esto se desprende de la propiedad universal de abelinización que se desprende del teorema del homomorfismo para grupos). Ahora $Ab$ es un functor que significa que $Ab(fg) = Ab(f) Ab(g)$ y $Ab(id_G) = id_{Ab(G)}$ . Los funtores siempre preservan los isomorfismos ya que si $f: G \to H$ es un isomorfismo y $g$ es su inversa, entonces $Ab(f) Ab(g) = Ab(fg) = Ab(id_G) = id_{Ab(G)}$ y lo mismo para $Ab(g) Ab(f)$ así que $Ab(f)$ es un isomorfismo entre las abelinizaciones y $Ab(g)$ es su inversa.
Intuitivamente es obvio que los grupos isomorfos tienen abelinización isomorfa ya que la abelinización depende sólo de la estructura del grupo.
$p\circ f^{-1}$ (esta es la composición correcta) es un homomorfismo de $\pi_1(Y)$ a $\pi_1(X)^*$ pero no es este mapa el que es un isomorfismo.
Te esbozaré la idea correcta, evitando los conceptos más sofisticados de la respuesta de user87690. Elementos de $\pi_1(X)^*$ son clases de equivalencia de elementos de $\pi_1(X)$ ; $g_1 \sim g_2$ si y sólo si $g_2 = g_1 h_1^{-1}h_2^{-1}h_1 h_2$ para una adecuada $h_1, h_2 \in \pi_1(X)$ . Dado un homomorfismo $f : \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$ una forma obvia de intentar definir un mapa de $\pi_1(X)^*$ a $\pi_1(Y)^*$ es $f^{\mathrm{ab}}: [g] \mapsto [f(g)]$ , donde $[]$ denota la clase de equivalencia. Hay que comprobar que está bien definido, es decir, que es independiente de la elección del representante que tomemos para la clase de equivalencia, y que es un homomorfismo.
En el caso de que $f$ es un ismorfismo, debería poder comprobar que $f^{\mathrm{ab}}$ también es un isomorfismo.
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