Núcleo de matriz con identidad como submatriz

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^k$ ser un $C^\infty$ mapa y dejar $X=\text{graph}f$ es decir $$X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^k\mid y=f(x)\}.$$ ¿Cuál es el espacio tangente a $X$ en $(a,f(a))$ ?

Si he calculado bien, esto se reduce a encontrar el núcleo del $k\times (n+k)$ matriz $\begin{bmatrix}-Df(a) & I_k \end{bmatrix},$ donde $I_k$ es el $k\times k$ identidad.

¿Cuál es el núcleo de esta matriz? ¿Podemos encontrarlo explícitamente?

Answer 1

Considere el mapa $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^{n+k}$ definido por $F(x)=(x,f(x))$ . Es suave, con la derivada en $a$ siendo el operador lineal $$DF_a h = (h, Df_a h)$$ El rango de la derivada describe el espacio tangente: $$T_{F(a)}X=\{(h,Df_a(h)) : h\in\mathbb{R}^n\}$$ como loup blanc dijo en un comentario.