La estructura general de las ecuaciones que he utilizado para el paso inductivo de las pruebas con una suma es algo así:
Demostraremos que $\sum_{i = 0}^{n + 1} (\text{something}) = (\text{closed form expression})$
\begin{align} \sum_{i = 0}^{n + 1} (\text{something}) &= \sum_{i = 0}^n (\text{something}) + \text{last term} &\\ &= [\text{expression via I.H.}] + \text{last term} &\\ &= \text{do some work...} &\\ &= \text{some more work...} &\\ &= (\text{finally reach the closed form expression we want}) \end{align}
Esta estructura es muy agradable, ya que la ecuación es unilateral, y muy fácil de seguir. Sin embargo, resolví un problema que no podía resolver con esta estructura unilateral, y tuve que sustituir el LHS con la expresión de forma cerrada que estoy tratando de probar, para poder utilizar algunos de sus términos para simplificar el RHS. Esto está bien y es válido, pero me gustaría saber si hay una forma más sencilla de realizar esta demostración que no emplee la sustitución que se ve a continuación:
En otras palabras, no pude averiguar cómo simplificar $\frac{2}{3}(4^n - 1) + 2^{2n + 1}$ para conseguir $\frac{2}{3}(4^{n + 1} - 1)$ . Lo más lejos que llegué fue:
\begin{align} &= \frac{2}{3}(4^n - 1) + 2^{2n + 1} &\\ &= \frac{2}{3}(4^n - 1) + 2\cdot 2^{2n} &\\ &= \frac{2}{3}(4^n - 1) + 2\cdot 4^n &\\ &= \frac{2}{3}(4^n - 1) + \frac{3 \cdot 2\cdot 4^n}{3} &\\ &= \frac{2}{3}(4^n - 1 + 3 \cdot 4^n) &\\ \end{align}
