Se trata de una ampliación de este pregunta. Dejemos que $I,J$ sean ideales de un anillo $R$ ; aquí todo anillo es conmutativo y unital. ¿Es posible definir $R \to R/(I*J)$ de $R \to R/I$ y $R \to R/J$ en términos categóricos dentro de la categoría de anillos? Para ser más precisos: ¿Existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de las categorías $\phi$ con un parámetro de tipo "categoría" y tres parámetros de tipo "morfismo", tal que $\phi(\text{Ring},R \to R/I,R \to R/J,R \to R/K)$ es verdadera si y sólo si $K = I*J$ ?
Es fácil hacerlo para la suma ideal y la intersección ideal. A saber: $K=I + J$ se caracteriza por $R/K = R/I \otimes_R R/J$ a través de los mapas naturales, siendo el producto tensorial el coproducto de $R$ -algebras. Y $K=I \cap J$ se caracteriza por el hecho de que $R/K$ es el cociente regular universal de $R$ tal que $R \to R/I \times R/J$ factores a través de ella; esto es una forma elegante de decir que $I \cap J$ es el núcleo de $R \to R/I \times R/J$ . Pero de alguna manera es bastante difícil para el producto ideal. Obsérvese que la pregunta enlazada más arriba muestra que no habrá ninguna caracterización sólo usando cocientes regulares de $R$ .
Aunque $I*J$ es la imagen del morfismo natural $I \otimes J \to R$ Esto tiene lugar en la categoría de $R$ -y, por tanto, deja la categoría de anillos dada. Tal vez las unitalizaciones sean útiles, pero no puedo deshacerme de los factores $I,J$ en el morfismo canónico $\tilde{I} \otimes \tilde{J} \to R$ . Otra idea es la siguiente: $I*J \subseteq I \cap J$ y basta con caracterizar (el cociente de) $I \cap J / I*J$ . Este es un $R$ -isomorfo a $\text{Tor}_1(R/I,R/J)$ . Pero de nuevo a priori esto deja la categoría de anillos.
Existe una definición categórica de los ideales primos (véase aquí ) y, por tanto, también de ideales radicales. Como también podemos definir intersecciones e inclusiones, también tenemos $\text{rad}(I*J) = \text{rad}(I \cap J)$ como una información categórica, pero por supuesto esto no es suficiente para recuperar $I*J$ .
EDIT: Hay una respuesta positiva sin sentido: El anillo $\mathbb{Z}[x]$ puede definirse categóricamente, véase aquí . En realidad, también obtenemos la estructura de coring, incluyendo la multiplicación resp. la adición $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x,y]$ y cero $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}$ . Entonces se puede definir el conjunto subyacente $|R|=\hom(\mathbb{Z}[x],R)$ categóricamente y también $|I|$ como el ecualizador de dos mapas $|R| \to |R/I|$ , el que se tuerce por el morfismo cero $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[x]$ . Ahora $|I*J| \subseteq |R|$ es el subconjunto definido como la unión de las imágenes de los mapas $(|R|^2)^n \mapsto |R|$ inducido por $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x_1,y_1,...,x_n,y_n], x \mapsto x_1 y_1 + ... + x_n y_n$ que proviene de la estructura de extracción de núcleos. Pero ahora $R \to R/I$ se caracteriza por $|I|$ así que ganamos.
Por eso quiero cambiar mi pregunta: ¿Existe una definición categórica más directa del producto ideal, sin pasar por $\mathbb{Z}[x]$ y, por lo tanto, sólo imitando la definición del elemento?
De manera más general (y aquí la definición de elemento anterior no funciona): Si $X$ es un esquema y $Z \to X, Z' \to X$ son dos subesquemas cerrados, ¿cuál es una caracterización categórica de la inmersión cerrada $Z'' \to X$ correspondiente al producto ideal? ¿Cuál es su significado geométrico (esto se discutió parcialmente aquí )? El espacio subyacente es sólo la unión, pero la gavilla de estructura no. Para $Z'=Z$ este proceso se llama espesamiento.
