1) No. Es sencillo demostrar que el equivalente de las normas de rendimiento de la misma secuencias convergentes y las mismas secuencias de Cauchy. (Escrito antes de Rasmus respuesta fue publicado, pero publicado después.)
2) Sí. Una forma de ver esta es la nota que clases de isomorfismo de espacios vectoriales depender sólo de la dimensión lineal, por lo que la pregunta equivale a encontrar 2 nonisomorphic espacios de Banach de la misma dimensión lineal. Hay un montón de ejemplos de estos. Cada infinitas dimensiones de Banach separable espacio lineal de dimensión $2^{\aleph_0}$. Sin embargo, por ejemplo, $\ell^1$ $c_0$ son separables los espacios de Banach que no son isomorfos (como los espacios de Banach).
En realidad, "equivale a" no era del todo exacta. Sin duda, es suficiente con que el 2 espacios de Banach que no son isomorfos, pero no es necesario, ya que sólo están pidiendo que un particular mapa (la identidad en la formulación original) no es un isomorfismo. Así que lo que me dio es en realidad más fuerte. Sólo la respuesta 2), usted puede simplemente tomar cualquier infinitas dimensiones espacio de Banach e inducir una nueva norma a través de una desenfrenada lineal isomorfismo con sí mismo.
La respuesta anterior era suponiendo que el equivalente de las normas se definen como en este PlanetMath artículo. Si en lugar de lo que significaba sólo que los espacios son homeomórficos en la norma topologías, como Jyotirmoy Bhattacharya sospecha, a continuación, los ejemplos mencionados arriba no funciona. Sin embargo, también hay ejemplos de pares de espacios de Banach que tienen la misma dimensión lineal pero no homeomórficos, y esto va a funcionar en cualquiera de los casos. Por ejemplo, $\ell^\infty$ $c_0$ no homeomórficos porque $\ell^\infty$ es nonseparable. Ambos espacios han dimensión lineal $2^{\aleph_0}$. Esto ya fue mencionado por $c_0$, y para $\ell^\infty$ sigue porque $c_0$ incrusta en $l^\infty$ (lo que le da el límite inferior en la dimensión) y porque la cardinalidad de a $\ell^\infty$ $2^{\aleph_0}$ (lo que le da el límite superior).
(Ahora estoy bastante seguro de que esto no es lo que desea, basándose en su edición, pero esto aún da otro ejemplo de la pregunta así como una respuesta a Jyotirmoy comentario.)
Por cierto, otra forma de ver que $2^{\aleph_0}$ es un límite inferior para las dimensiones lineales de $\ell^1$ y amigos, es considerar el conjunto linealmente independiente $\{(1,t,t^2,t^3,\ldots):0\lt t\lt 1\}$. Cardinalidad de los espacios que se da un límite superior.
