Resolver diferentes soluciones para el sistema lineal

Question

Actualmente estoy en una clase de álgebra lineal y tengo que responder a las siguientes preguntas, para qué valores de $a$ y $b$ tiene el sistema de abajo:
a) No hay solución
b) Una sola solución
c) Infinitas soluciones

\begin{cases} x_{2} + 3x_{3} = 1 \\ x_{1} + 2x_{2} + 6x_{3} = 1 \\ x_{2} - 6x_{3} = -1 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + ax_{3} = b \end{cases}

Para intentar esto traté de reducir la matriz aumentada a la forma escalonada y terminé con esto

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & a & b + 1 \end{bmatrix}

A mi entender, para que este sistema en particular tenga infinitas soluciones, tanto la tercera como la cuarta fila tienen que ser sólo ceros. Porque como $a$ está en la tercera columna, esta es la única manera de conseguir $x_{3}$ siendo una variable libre. El problema es que no sé cómo reducir este sistema de tal manera y me preguntaba si alguien podría ayudar. Creo que si entiendo cómo organizar la matriz podré responder a las otras preguntas. ¡Gracias!

Answer 1

Hay que escribir la matriz aumentada. luego puedes realizar operaciones de fila para convertirla en forma escalonada

este enlace puede ayudar .

https://www.wikihow.com/Reduce-a-Matrix-to-Row-Echelon-Form

Answer 2

El sistema dado tiene una matriz aumentada $$\begin{bmatrix}0&1&3&|&1\\1&2&6&|&1\\0&1&-6&|&-1\\2&2&a&|&b\end{bmatrix}\xrightarrow{(1)}\begin{bmatrix}0&1&3&|&1\\1&2&6&|&1\\0&1&-6&|&-1\\0&-2&a-12&|&b-2\end{bmatrix}\xrightarrow{(2)}\begin{bmatrix}0&1&3&|&1\\1&0&0&|&-1\\0&0&-9&|&-2\\0&0&a-6&|&b\end{bmatrix}$$ where the steps are $$\begin{align}&(1)\qquad -2R_2+R_4\mapsto R_4\\&(2)\qquad \begin{cases}-2R_1+R_2\mapsto R_2\\-R_1+R_3\mapsto R_3\\2R_1+R_4\mapsto R_4\end{cases}\end{align}$$ El sistema es inconsistente (sin soluciones) cuando hay una fila no nula en la matriz de coeficientes con una entrada nula en el vector aumentado del lado derecho. El sistema tiene una solución cuando el sistema es consistente y la matriz tiene rango $3$ . De lo contrario, hay infinitas soluciones.

Se puede realizar un último paso a través de $$(3)\qquad\begin{cases}-3R_3+R_1\mapsto R_1\\(6-a)R_3+R_4\mapsto R_4\end{cases}$$ $$\begin{bmatrix}0&1&3&|&1\\1&0&0&|&-1\\0&0&1&|&\frac{2}{9}\\0&0&a-6&|&b\end{bmatrix}\xrightarrow{(3)}\begin{bmatrix}0&1&0&|&\frac{1}{3}\\1&0&0&|&-1\\0&0&1&|&\frac{2}{9}\\0&0&0&|&b+\frac{2}{9}(6-a)\end{bmatrix}$$

Answer 3

Empecemos por aquí:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & a & b + 1 \end{bmatrix}

Para las ecuaciones 1 a 3 calculamos el determinante:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -9 \\ \end{vmatrix}=18>0 $$

Esto significa que el primer $3$ Las ecuaciones tienen un único solución.

Nuestro sistema está sobredeterminado, por lo que si la cuarta ecuación es idéntica a la tercera, todo el sistema tiene 1 solución única y en caso contrario no tiene solución.

Si $a=-9$ Y $b+1=-2$ entonces tenemos 1 solución. De lo contrario, no tenemos ninguna solución.

Answer 4

Hay un resultado general para esto:

Dejemos que $A\,\mathbf x =\mathbf b$ sea un sistema lineal (posiblemente no homogéneo) de tamaño $m\times n$ sobre el campo $K$ . Denotaremos $\;[A\mid \mathbf b]$ la matriz aumentada. Este sistema lineal tiene

• no hay solución si $\;\DeclareMathOperator{\rank}{rank} \rank A<\rank A\mid\mathbf b$ ;

• soluciones si $\;\rank A=\rank A\mid\mathbf b$ .

Además, si hay soluciones, es una solución única si $A$ tiene rango máximo es decir, si $\rank A=\min(m,n)$ . Tiene infinidad de soluciones si $\rank A<\min(m,n)$ .

En todos los casos, el conjunto de soluciones es un subespacio afín de $K^n$ con dimensión $\operatorname{codim} A$ .