Si $a_n > 0$ demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}$ converge

Question

Tengo una tarea interesante: Si $a_n > 0$ , demuestre que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}$$ converge.

Pensé que sería sencillo porque la prueba de proporción me da: $$\frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\cdot a_n^{-1} < 1 \cdot a_n^{-1} = \frac{1}{a_n}$$ y $a_n$ debe estar en $[0,1]$ . Pero... En mi opinión puede estar por encima de eso... por qué tengo que asumirlo $ a_n \rightarrow g \in [0,1] $ ? Hay un tema similar en este foro, pero no fue resuelto allí...
@edit Ya lo he visto: $$\sum_{n=1}^{N}\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)} = 1-\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_N)} < 1 $$ Entonces, si la serie de la suma parcial está acotada desde arriba, la suma converge, ¿es así? @edit2 ¿pero es bueno? Mira eso: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac{a_n+1-1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)} = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_{n-1})}-\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)} $$ por qué alguien cambió la primera parte en $1$ ? @edit3 Ok, creo que lo he entendido, gracias por tu tiempo ;)

Answer 1

Una pista:

$$ \eqalign{ & \sum\limits_{1\, \le \,n\,} {{{a_n } \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right) \cdots \left( {a_n + 1} \right)}}} = \cr & = \sum\limits_{1\, \le \,n\,} {{{\left( {a_n + 1} \right) - 1} \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right) \cdots \left( {a_n + 1} \right)}}} = \cdots \cr} $$

(continuación)

$$ \eqalign{ & = {{a_1 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} + {{a_2 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)}} + {{a_3 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)\left( {a_3 + 1} \right)}} + \cdots = \cr & = {{a_1 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} + {{a_2 + 1 - 1} \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)}} + {{a_3 + 1 - 1} \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)\left( {a_3 + 1} \right)}} + \cdots = \cr & = {{a_1 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} - {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)}} - {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)\left( {a_3 + 1} \right)}} + \cdots = \cr & = {{a_1 } \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)}} - {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)\left( {a_3 + 1} \right)}} + \cdots = \cr & = 1 - {1 \over {\left( {a_1 + 1} \right)\left( {a_2 + 1} \right)\left( {a_3 + 1} \right)}} + \cdots = \cdots \cr} $$

Answer 2

En este caso, la prueba de la proporción es inútil porque se tiene cero información sobre $a_n$ .

¿Puedo sugerirle que calcule las primeras sumas parciales para "hacerse una idea" de lo que ocurre?