Para las extensiones de campo $K/E/F$ , $K/F$ es una extensión radical si y sólo si $K/E$ y $E/F$ es una extensión radical.

Question

Definición. E/F es una extensión radical si existe $F\subset F(\alpha_1)\subset F(\alpha_1,\alpha_2)\subset\cdots\subset F(\alpha_1,...,\alpha_n) = E$ tal que $\alpha_1^{n_1}\in F$ y $\alpha_i^{n_i}\in F(\alpha_1,...,\alpha_{i-1})$ para $i\geq 2$

Para las extensiones de campo $K/E/F$ , $K/F$ es una extensión radical si y sólo si $K/E$ y $E/F$ es una extensión radical.

Si la dirección es clara. Pero la dirección sólo si no está clara para mí. ¿Por qué es esto cierto? (El hecho de que $K/E$ es la extensión radical no es trivial para mí)

Answer 1

$F \subset F(\alpha_1) \subset ... \subset F(\alpha_1, ..., \alpha_n)=K$ con $\alpha_i^{n_i}\in F(\alpha_1,...,\alpha_{i-1})$ .

Entonces tienes $E \subset E(\alpha_1) \subset ... \subset E(\alpha_1, ..., \alpha_n)$ . Pero $F \subset E \Rightarrow F(\alpha_1,...,\alpha_{i-1}) \subset E(\alpha_1,...,\alpha_{i-1})$ y así $\alpha_i^{n_i}\in E(\alpha_1,...,\alpha_{i-1})$ . Por la misma razón $K=F(\alpha_1, ..., \alpha_n) \subset E(\alpha_1, ..., \alpha_n)$ . Pero $\alpha_1,...,\alpha_n \in K \Rightarrow E(\alpha_1, ..., \alpha_n)=K$ . Así que $K/E$ es radical