Dada una matriz, ¿existe siempre otra matriz que conmuta con ella?

Question

Dada una matriz $A$ sobre un campo $F$ ¿existe siempre una matriz $B$ tal que $AB = BA$ ? (excepto el caso trivial y el anillo polinómico?)

Answer 1

Una matriz cuadrada $A$ sobre un campo $F$ se desplaza con cada $F$ -combinación lineal de potencias no negativas de $A$ . Es decir, para cada $a_0,\dots,a_n\in F$ ,

$$A\left(\sum_{k=0}^na_kA^k\right)=\sum_{k=0}^na_kA^{k+1}=\left(\sum_{k=0}^na_kA^k\right)A\;.$$

Esto incluye como casos especiales las matrices identidad y cero de las mismas dimensiones que $A$ y por supuesto $A$ sí mismo.

Añadido: Como se ha señalado en los comentarios, esto equivale a decir que $A$ se desplaza con $p(A)$ para todo polinomio sobre $F$ . Como también se señaló, hay matrices que conmutan sólo con estos. Un ejemplo sencillo es la matriz $$A=\pmatrix{1&1\\0&1}:$$ es fácil comprobar que las matrices que conmutan con $A$ son precisamente los de la forma $$\pmatrix{a&b\\0&a}=bA+(a-b)I=bA^1+(a-b)A^0\;.$$ En el otro extremo, un múltiplo escalar de una matriz identidad conmuta con todas las matrices del mismo tamaño.

Answer 2

Dado un cuadrado $n$ por $n$ matriz $A$ sobre un campo $k,$ siempre es cierto que $A$ conmuta con cualquier $p(A),$ donde $p(x)$ es un polinomio con coeficientes en $k.$ Nótese que en el polinomio tomamos la constante $p_0$ para referirse a $p_0 I$ aquí, donde $I$ es la matriz de identidad. Además, por Cayley-Hamilton, cualquier polinomio de este tipo puede reescribirse como uno de grado no mayor que $(n-1),$ y esto se aplica también a las series de potencias como $e^A,$ aunque en este caso es mejor encontrar $e^A$ primero y luego averiguar cómo escribirlo como un polinomio finito.

TEOREMA: Los siguientes son equivalentes:

(I) $A$ conmuta sólo con matrices $B = p(A)$ para algunos $p(x) \in k[x]$

(II) El polinomio mínimo y el polinomio característico de $A$ coinciden; nótese que, si ampliamos el campo a más del campo que contiene las entradas de la matriz, no cambian ni la característica ni el polinomio mínimo. Buenas pruebas para el polinomio mínimo en ¿Puede una matriz en $\mathbb{R}$ tienen un polinomio mínimo que tiene coeficientes en $\mathbb{C}$ ?

(III) $A$ es similar a una matriz de acompañamiento.

(IV) si es necesario, tomando una extensión de campo para que el polinomio característico se factorice completamente, cada valor característico ocurre en un solo bloque de Jordan.

(V) $A$ tiene un vector cíclico, es decir, algún $v$ tal que $ \{ v,Av,A^2v, \ldots, A^{n-1}v \} $ es una base del espacio vectorial.

Ver GAILLARD MINIMAL SIMILAR COMPAÑERO

La equivalencia de (II) y (III) es el Corolario 9.43 en la página 674 de ROTMAN

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Teorema: Si $A$ tiene un vector cíclico, es decir, algún $v$ tal que $$ \{ v,Av,A^2v, \ldots, A^{n-1}v \} $$ es una base para el espacio vectorial, entonces $A$ conmuta sólo con matrices $B = p(A)$ para algunos $p(x) \in k[x].$

Buena prueba corta de Gerry en Matriz compleja que conmuta con otra matriz compleja.

Esto es realmente si y sólo si, ver Declaración y Prueba

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Nótese que, como en los números complejos, si el campo $k$ es algebraicamente cerrado podemos entonces preguntarnos por la forma normal de Jordan de $A.$ En este caso, la condición es que cada valor propio pertenezca a un solo bloque de Jordan. Esto incluye el caso más fácil, cuando todos los valores propios son distintos, ya que entonces la forma de Jordan es sólo una matriz diagonal con un montón de números diferentes en la diagonal, sin repeticiones.

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Por ejemplo, dejemos que $$ A \; = \; \left( \begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right). $$

A continuación, con $r \neq s,$ tomar $$ B \; = \; \left( \begin{array}{ccc} r & 0 & 0 \\ 0 & s & t \\ 0 & 0 & s \end{array} \right). $$

Tenemos

$$ AB \; = \; BA \; = \; \left( \begin{array}{ccc} \lambda r & 0 & 0 \\ 0 & \lambda s & \lambda t + s \\ 0 & 0 & \lambda s \end{array} \right). $$ Sin embargo, como $r \neq s,$ sabemos que $B$ no puede escribirse como un polinomio en $A.$

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Una nota al margen, Calcular la dimensión de un espacio vectorial de matrices que conmutan con una matriz B dada, respuesta de Pedro. Las matrices que conmutan sólo con polinomios en sí mismas son un caso extremo, la dimensión de ese espacio vectorial de matrices es sólo $n.$ El otro extremo es la matriz identidad, conmuta con todo, dimensión $n^2.$ Para alguna matriz intermedia, ¿cuál es la dimensión del espacio vectorial de matrices con el que conmuta?

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Mostrando cuál debe ser la forma de un bloque cuadrado si conmuta con un bloque de Jordan. No hay pérdida en tomar el valor propio para el bloque de Jordan como cero, y lo hace todo más limpio:

parisize = 4000000, primelimit = 500000
? jordan = [ 0,1;0,0]
%1 = 
[0 1]

[0 0]

? symbols = [a,b;c,d]
%2 = 
[a b]

[c d]

? jordan * symbols - symbols * jordan
%3 = 
[c -a + d]

[0     -c]

? 
? 
? symbols = [ a,b,c;d,e,f;g,h,i]
%4 = 
[a b c]

[d e f]

[g h i]

? jordan = [ 0,1,0; 0,0,1; 0,0,0]
%5 = 
[0 1 0]

[0 0 1]

[0 0 0]

? jordan * symbols - symbols * jordan
%6 = 
[d -a + e -b + f]

[g -d + h -e + i]

[0     -g     -h]

? 
? 
? jordan = [ 0,1,0,0; 0,0,1,0; 0,0,0,1;0,0,0,0]
%7 = 
[0 1 0 0]

[0 0 1 0]

[0 0 0 1]

[0 0 0 0]

? symbols = [ a,b,c,d; e,f,g,h; i,j,k,l; m,n,o,p]
%8 = 
[a b c d]

[e f g h]

[i j k l]

[m n o p]

? jordan * symbols - symbols * jordan
%9 = 
[e -a + f -b + g -c + h]

[i -e + j -f + k -g + l]

[m -i + n -j + o -k + p]

[0     -m     -n     -o]

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Answer 3

Esto no quiere ser una respuesta completa, sino sólo una pista para entender el problema un poco mejor.

Obsérvese que la conmutatividad $AB=BA$ es equivalente (cuando $B$ es invertible) a $A=BAB^{-1}$ .

Por otro lado, las matrices conjugadas representan el mismo endomorfismo del espacio vectorial subyacente con respecto a diferentes bases. Así, $A=BAB^{-1}$ significa que el endomorfismo correspondiente a $A$ tiene la misma representación matricial cuando la base cambió por $B$ .

¿Cómo es posible?

Si $A$ es diagonalizable, es decir, el espacio vectorial admite una base de vectores propios, con distintivo valores propios, la única forma en que podemos modificar la base y dejar $A$ como matriz que representa el endomorfismo es al efecto de sustituir los vectores propios por algunos múltiplos. Esto corresponde a la situación en la que las únicas matrices que conmutan con $A$ son las combinaciones lineales de sus potencias.

Por otro lado, si existe un eigespacio $E_\lambda$ de dimensión $\geq2$ podemos sustituir cualquier elección de base de $E_\lambda$ con cualquier otra, y la matriz que representa el endomorfismo quedará igual. Por lo tanto, es de esperar que haya más matrices que conmuten con $A$ en este caso.

Espero que esto ayude a entender el problema.

Answer 4

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz sobre un campo $\mathbb{F}$ . Sea $C_A = \{B\in M_{n\times n}(\mathbb{F}) \mid AB=BA\}$ . Entonces la dimensión mínima de $C_A$ en $\mathbb{F}$ es $n$ y esto se obtiene precisamente cuando el polinomio mínimo y el polinomio característico de $A$ coinciden.

La idea de la prueba es interpretar $C_A$ como $\mathbb{F}[x]$ -álgebra de endomorfismo del $\mathbb{F}[x]$ -Módulo $M^A$ . (Aquí $M^A$ es el $\mathbb{F}[x]$ -estructura de módulo de $\mathbb{F}^n$ ). Utilizar la descomposición de la forma canónica racional-primaria. Tenemos la siguiente fórmula para $\textrm{dim}_{\mathbb{F}} C_A$ . $$\textrm{dim}_{\mathbb{F}} C_A=\textrm{dim}_{\mathbb{F}}\textrm{ End}_{\mathbb{F}[x]}M^A=\sum_p(\deg p)\sum_{i,j} \min\{\lambda_{p,i}, \lambda_{p,j}\}, $$ donde la primera suma es sobre todos los polinomios irreducibles $p$ que divide el polinomio característico de $A$ y los índices $i, j$ de la segunda suma doble es de la partición $\lambda_p=\sum_i \lambda_{p,i}$ que indica los poderes de $p$ sur $p$ -parte principal de $M^A$ .

Así, si el polinomio mínimo no coincide con el polinomio característico, entonces la dimensión de $C_A$ es mayor que $n$ .

Answer 5

Otro ejemplo es el adjunto de $A$ : $$ A \operatorname{adj}(A)= \operatorname{adj}(A) A = \det(A)I $$ (pero para matrices invertibles es igual al escalar $\det(A)$ multiplicando la inversa de $A$ , por lo que es trivial que conmute. con $A$ ).